Вивчення диференціального числення функцій однієї та багатьох змінних в умовах модульно-рейтингової (стр. 9 из 13)

В точці

маємо . Таким чином, рівняння нормалі записується у вигляді

, або .

Приклад 4. Знайти рівняння дотичної й нормалі до кривої

у точці .

Розв’язання. Значення похідної даної функції в точці А:

Рівняння дотичної:

Рівняння нормалі:

Фізичний зміст похідної

Під фізичним змістом похідної розуміють швидкість зміни функції в даній точці. Наприклад:

1) при русі тіла швидкість

в даний момент часу є похідною від шляху :

2) при обертовому русі твердого тіла навколо осі

кутова швидкість в даний момент часу є похідною від кута повороту :

3) при охолодженні тіла швидкість охолодження в момент часу

є похідною від температури

4) теплоємність С для даної температури

є похідною від кількості тепла :

5) при нагріванні стержня коефіцієнт лінійного розширення

при даному значенні температури є похідною від довжини :

Приклад 1. Знайти швидкість точки, рух якої описується рівнянням

, наприкінці третьої та десятої секунд.

Розв’язання. Швидкість визначається за формулою

Коли

, маємо (м/с).

Коли

, маємо (м/с).

Приклад 2. Знайти швидкість точки, яка рухається по колу радіуса

, оббігаючи коло за час .

Розв’язання. Нехай точка починає рухатися з положення А проти годинникової стрілки. Нехай за час

вона дійшла до положення .

Кут між її радіусом-вектором та віссю

дорівнює в цей час , тому що точка проходить кут за час Т, кут – за одиницю часу і кут – за час .

Отже, в будь-який момент

положення точки можна визначити через її дві координати:

Компоненти швидкості знаходимо з таких обчислень:

Тоді швидкість точки буде:

2.7 Диференціал функції

Диференціал функції, як і похідна, застосовується при розв’язанні ряду практичних задач, зокрема в наближених обчисленнях.

Диференціалом функції

в точці х називається головна (лінійна відносно ) частина приросту диференційовної в точці х функції.

Диференціал дорівнює добутку похідної функції в точці х на приріст незалежної змінної, тобто

Зокрема, диференціалом незалежної змінної є ії приріст:

Тоді формула диференціала має вигляд

відкіля

Основні властивості диференціала

Для довільних диференційованих функцій

та

мають місце такі рівності:

1.

;

2.

— довільні сталі

;

3.

;

4.

;

5.

.

Приклад 1. Знайти диференціал функції

.

Розв’язання. За формулою

Приклад 2. Знайти диференціал функції

.

Розв’язання. За формулою

Застосування диференціала до наближених обчислень

При малих

справедлива формула , тобто

.

Приклад 1. Обчислити наближено за допомогою диференці-ала значення функції

в точці .

Розв’язання. Найближча к 1,97 точка, в якої легко обчислити значення

и , — це точка .

, .

За наведеною формулою маємо

Приклад 2. Знайти, наскільки зміниться довжина ребра куба, якщо об’єм його зменшиться з 64 до 63,98 м³.

Розв’язання. Якщо х – об’єм куба, а у – його ребро, тоді

.