Распределение Пуассона (стр. 2 из 4)

следовательно,

Таким образом, дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, равна ее математическому ожиданию а.

Это свойство распределения Пуассона часто применяют на практике для решения вопроса, правдоподобна ли гипотеза о том, что случайная величина распределена по закону Пуассона. Для этого определяют из опыта статистические характеристики – математическое ожидание и дисперсию – случайной величины. Если их значения близки, то это может служить доводом в пользу гипотезы о пуассоновском распределении; резкое различие этих характеристик, напротив, свидетельствует против подобной гипотезы.

Дисперсия

имеет размерность квадрата случайной величины, что не удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния используют также величину .

Средним квадратическим отклонением (стандартным отклонением или стандартом)

случайной величины Х называется арифметическое значение корня квадратного из её дисперсии:

.

Стремление получить безразмерную характеристику степени рассеивания случайной величины, не зависящую от масштаба измерения исходных параметров случайных явлений, привело также к понятию коэффициента вариации случайной величины.

Коэффициент вариации – это отношение (в%) среднеквадратического отклонения к соответственному математическому ожиданию:

(предполагается, что

)

Асимметрия и эксцесс распределения Пуассона

Третий центральный момент

служит для характеристики асимметрии (скошенности) распределения. Он имеет размерность куба случайной величины. Чтобы получить безразмерную величину, её делят на , где - среднее квадратическое отклонение случайной величины Х. Полученная величина А называется коэффициентом асимметрии случайной величины:

.

Найдем третий центральный момент через начальные моменты по формуле:

Моменты

и :

.

Найдем третий начальный момент

:

.

Обозначим

. Тогда

Подставляя

в формулу для вычисления , получаем

Таким образом, третий центральный момент случайной величины

также равен параметру распределения Пуассона . Найдем коэффициент асимметрии:

.

Коэффициент асимметрии случайной величины, имеющей распределение Пуассона, больше нуля.

Четвертый центральный момент

служит для характеристики крутости (островершинности или плосковершинности) распределения.

Эксцессом (или коэффициентом эксцесса) случайной величины называется число

,

где

- центральный момент четвертого порядка.

Можно показать, что

.

Так как

, то эксцесс распределения Пуассона всегда положителен.

Дополнительные характеристики распределения Пуассона

I. Начальным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание величины Х^k:

α_k =M(X^k).

В частности, начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию:

α₁=M(X)=a.

II. Центральным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание величины [X-M(X)]^k:

μ_k=M [X-M(X)]^k.

В частности, центральный момент 1-ого порядка равен 0:

μ₁=М [X-M(X)]=0,

центральный момент 2-ого порядка равен дисперсии:

μ₂=M [X-M(X)]²=a.

III. Для случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, найдем вероятность того, что она примет значение не меньшее заданного k. Эту вероятность обозначим R_k:

Очевидно, вероятность R_k может быть вычислена как сумма

Однако значительно проще определить ее из вероятности противоположного события:

В частности, вероятность того, что величина Х примет положительное значение, выражается формулой

Распределение Пуассона в математической статистике

Точечная оценка параметра распределения Пуассона

Наилучшей точечной оценкой параметра

является

Т.е.

, или .

Отсюда следует, что

.

Интервальная оценка распределения Пуассона

Пусть х_1, х₂, … х_n – независимые наблюдения, каждое из которых распределено по закону Пуассона, т.е. при

> 0 вероятность

Р

,

где х = 0,1,2, … и

– неизвестный параметр (интенсивность текучести).

Оценим параметр

с помощью доверительного интервала.

Тогда доверительный интервал для

, соответствующий доверительной вероятности , при достаточно большом n будет иметь вид

для любого значения

. Поэтому, если n достаточно велико и

,

то

.

Пример условия, при котором возникает распределение Пуассона

Как уже говорилось, многие задачи практики приводят к распределению Пуассона. Рассмотрим одну из типичных задач такого рода.

Пусть на оси абсцисс Ох случайным образом распределяются точки (рис. 3). Допустим, что случайное распределение точек удовлетворяет следующим условиям: