Интегралы, зависящие от параметра (стр. 4 из 6)

. Но тогда

так как первый предел существует по теореме о трёх функциях и в силу непрерывности функции f на прямоугольнике П, а второй — в силу

дифференцируемости функции b(у). Итак,

. (2.10)

Совершенно аналогично доказывается, что третье слагаемое в (2.7)

дифференцируемо и что

. (2.11)

Итак, все три слагаемых в правой части равенства (2.7) дифференцируемы в точке

, значит, и функция I(у) дифференцируема в точке и

. (2.12)

Подставив сюда значения производных (формулы (2.9), (2.10), (2.11)),

получим представление (2.8) в точке

.■

Замечание 2.3 Условия теорем 2.7 — 2.11 являются достаточными.

декларируемые в теоремах свойства могут выполняться и при нарушении условий этих теорем. Но быть уверенным в их выполнении при нарушении условий теорем нельзя.

Рассмотрим соответствующие примеры.

Пример 2.8 Рассмотрим

Решение. Подынтегральная функция на прямой у = х терпит разрыв.

Однако, вычислив интеграл, убедимся, что он представляет непрерывную функцию от у на всей вещественной прямой.

1. Пусть у≤ 0.

;

2.Пусть о< у <1. I(у)=

3.Пусть у ≥ 1.

Нетрудно убедиться, что функция ‚ I(у) имеет одинаковые пределы

слева и справа в точках у = 0 и у = 1, поэтому непрерывна. ■

Пример 2.9 Рассмотрим

Решение. Подынтегральная функция терпит разрыв в точке (0; 0), однако, вычислив интеграл, убедимся, что он представляет интегрируемую

на отрезке [0; 1] функцию.

поэтому

Однако попытка проинтегрировать по параметру под знаком интеграла приведёт к иному результату.

■

Пример 2.10 Рассмотрим

Решение. Легко видеть, что интеграл удовлетворяет условиям теоремы 2.11 на любом отрезке [с; d]. Найдём производную I’(y), используя формулу 2.8.

2.3 Несобственные интегралы, зависящие от параметра

Пусть Y — произвольное множество, f: [а; +∞) х Y → R. Предположим, что для каждого у

сходится

. Тогда на множестве

Y определена функция

(2.13)

которую будем называть несобственным интегралом первого рода, зависящим от параметра.

Равномерная сходимость

Понятие равномерной сходимости для несобственных интегралов, зависящих от параметра, столь же важно, как и для функциональных рядов.

Определение 2.8 Будем говорить, что интеграл (2.13) сходится равномерно на множестве Y, если его остаток равномерно стремится к нулю на этом множестве, то есть, если

такое, что

выполняется неравенство

(2.14)

Теорема 2.12 (критерий Коши) для того, чтобы интеграл (2.13) сходился равномерно на множестве Y, необходимо и достаточно выполнение следующего условия (условие Коши):

, зависящее

только от

, такое, что будет выполняться неравенство

(2.15)

Доказательство. Пусть интеграл (2.13) сходится равномерно на множестве Y. Тогда, взяв любое

> 0, подберем так, чтобы для

любых А> А

и у

выполнялось неравенство .

Возьмём любые

и любое у

. Тогда

и необходимость доказана.

Наоборот, если выполнено условие (2.15), то оно выполнено для любого фиксированного у

. Но тогда по теореме 2.1 для любого фиксированного у

интеграл (2.13) сходится, то есть, для каждого у

существует

Поэтому, положив в (2.15) и устремив А" к +∞, получим для любого у

что означает равномерную на Y сходимость интеграла (2.13). ■

Теорема 2.13 (Вейерштрасс) Пусть f: [a, +∞) → R и для любых

А(> а) и у

функция f интегрируема по Риману на отрезке [а; A].

Пусть g : [а; +∞) →R, для всех х

[а; +∞), у

выполняется

неравенство

и сходится. Тогда интеграл (2.13) сходится равномерно (и абсолютно) на множестве Y.

Доказательство. По критерию Коши для несобственных интегралов

первого рода (см. 2.1) для любого

> 0 найдётся такое, что для

любых

будет выполняться неравенство Но тогда для любого у

, для любых имеем:

Остаётся применить теорему 2.12. .

Пример 2.11 Рассмотрим

Решение. Этот интеграл сходится равномерно на R, так как имеет место

Оценка

а сходится. ■

Теорема 2.14 (Дирихле) Пусть функции f, g: [а; +∞) х Y→ R и

интегрируемы по Риману на [а; А] при любых А > а и у

. Тогда

сходится равномерно на Y, если выполнены следующие два условия: