Интегралы, зависящие от параметра (стр. 5 из 6)

равномерно ограничен на [а; +∞), то есть, существует постоянная М такая, что для любых А> а и у

2)функция у(х, у) монотонно по х при каждом у

и равномерно по у
стремимся к нулю при х→+∞.

Доказательство. Доказательство этой теоремы такое же, как и доказательство теоремы 2.4, нужно лишь проследить, чтобы все оценки выполнялись равномерно по параметру.

По первому условию существует постоянная М такая, что для всех

A> а и у

имеет место оценка:

(2.16)

По второму условию для любого

> 0 найдётся

(> а) такое, что

для любых А>

и у
выполнено

(2.17)

Возьмём

и применим к интегралу

вторую теорему о среднем значении (только на этот раз в общем виде, поскольку неизвестен знак g(х, у)), согласно которой найдётся А = А(у), А

[А’, А”], такое, что

(2.18)

Оценим (2.18) с помощью (2.16) и (2.17).

для любого у из множества Y.

Используя критерий Коши, получаем требуемое утверждение. ■

Теорема 2.15 (Абель) Пусть функции f, g : [а; +∞) х Y→R и

интегрируемы по Риману на [а; А] при любых А > а и у

. Тогда

сходимся равномерно на Y, если выполнены следующие два условия:

сходимся равномерно на множестве Y;

2)функция g(х, у) монотонна по х при каждом у

и равномерно

по у

ограничена, то есть, существует постоянная М такая, что

для всех х

[а; +∞) и у
.

Пример 2.12 Рассмотрим

, где b> 0 постоянная, а параметр а удовлетворяет условию

Решение. Положим f(x,a)= sinax, g(x,a)

Тогда

при х → +∞, и это условие (ввиду независимости функции g от а) вы-

полнено равномерно по а.

Так как оба условия признака Дирихле выполнены, то рассматриваемый интеграл сходится равномерно в указанной области. ■

Пример 2.13 Рассмотрим

(a≥0)

Решение. Положим f(x, а) =

, g(х, а) =

. Так как

сходится равномерно по а (ввиду его отсутствия) по признаку Дирихле,

а функция

, очевидно, монотонна по х и при х ≥ 0, у ≥0 ограничена,

то рассматриваемый интеграл сходится равномерно в указанной области

по признаку Абеля.■

2.4 Свойства несобственных интегралов, зависящих

от параметра

Изучим свойства несобственных интегралов первого рода, зависящих

от параметра, ограничившись простейшим случаем: множество Y есть

отрезок [с; d] вещественной оси. Введём обозначение

и докажем предварительно следующую лемму.

Лемма 2.1 Если интеграл (2.13) сходится равномерно на множестве Y

то последовательность функций

) (2.19)

тоже равномерно сходится на множестве Y к функции I(y).

Теорема 2.16 Если функция f(x, у) определена и непрерывна на П

а интеграл (2.13) сходится равномерно на отрезке [с; d], мо функция

I(у), определяемая этим интегралом, непрерывна на [с; d].

Доказательство. По теореме 2.7 функции I

(y) (n

N) непрерывны на отрезке [с; d]. По лемме 2.1 последовательность функций I

(y) (n

сходится равномерно на отрезке [с; d] к функции ‚I(у). Но тогда по теореме о пределе равномерно сходящейся последовательности непрерывных

функций функция I(у) непрерывна на отрезке [с; d]. ■

Следующая теорема является в некотором роде обратной к предыдущей.

Теорема 2.17 (Дини) Если функция f(x, у) непрерывна и неотрицательна П

, а функция I(у), определяемая интегралом (2.13), непрерывна на отрезке [с; d], то интеграл (2.13) сходится равномерно на

отрезке [с; d].

Доказательство. По теореме 2.7 функции I

(y) (n

N) (см. (2.19))

непрерывны на отрезке [с; d]. Так как функция f(x, у) неотрицательна,

то последовательность функций I

(y) (n

N) монотонно не убывает.

Но тогда, поскольку предельная функция ‚I(у) этой последовательности тоже непрерывна, к ней можно применить теорему Дини для последовательностей, согласно которой последовательность I

(у) сходится к

функции I(у) равномерно на отрезке [с; d]. Последнее означает, что для

любого

> 0 найдётся номер n

такой, что при n > n

для всех у

[с; d]

справедливо неравенство

Положим

и возьмём

. Тогда, учитывая неотрицательность функции f(x, y), для всех у

получаем:

и равномерная сходимость интеграла доказана. ■

Теорема 2.18 Если функция f(x, у) определена и непрерывна на

а интеграл (2.13) сходится равномерно на отрезке [с; d], то функция

I(у), определяемая этим интегралом, интегрируема на [с; d] и справедливо равенство

(2.20)

Доказательство. Снова рассмотрим последовательность I

(у). По лемме 2.1 она сходится равномерно на отрезке [с; d] к функции I(у), а по теореме 2.8 функции последовательности интегрируемы на отрезке [с; d].