Интегралы, зависящие от параметра (стр. 6 из 6)

Тогда по теореме об интегрируемости предельной функции равномерно

сходящейся последовательности функция I(у) интегрируема на отрезке [с; d] и

Возможность изменения порядка интегрирования следует из той же

теоремы 2.8. ■

Теорема 2.19 Ecли функция f(x, у) непрерывна на множестве П

и

имеет на нём непрерывную частную производную

(х, y), интеграл (2.13) сходится, а интеграл

(2.21)

сходится равномерно на [с; d], то функция I(у) дифференцируема на отрезке [с; d] и справедливо равенство

(2.22)

Доказательство. Рассмотрим последовательность функций I

(y). По

условию теоремы эта последовательность сходится на отрезке [с; d] (поскольку сходится интеграл (2.13)). По теореме 2.9 функции I

(у) ( N)

дифференцируемы на отрезке [с; d], а по лемме 2.1 последовательность

производных I

(у) сходится на этом отрезке равномерно. Но тогда по

теореме о дифференцируемости предельной функции равномерно сходящейся последовательности функция I(у) дифференцируема на отрезке

[с; d] и

■

В некоторых случаях бывает необходимо изменить порядок интегрирования, когда и переменная х и параметр у изменяются на бесконечных

промежутках. Пусть

Теорема 2.20 Пусть функция f(x, у) непрерывна и неотрицательна на К. Интегралы

(2.23)

оба сходятся и являются непрерывными функциями соответственно

на [с; +∞) и [а; +∞). Тогда равенство

(2.24)

справедливо при условии существования одного из повторных интегралов.

Доказательство. Допустим, что существует левый из интегралов в равенстве (2.24). Покажем, что в таком случае существует и правый интеграл, и что они равны. Для этого достаточно установить, что для любого

с > 0 найдётся А

такое, что для любого А> А будет выполняться неравенство

(2.25)

Преобразуем левую часть (2.25). Так как для интеграла

выполнены условия теоремы Дини (теорема 2.17), то он равномерно сходится на любом сегменте [а; А], следовательно по теореме 2.18

Поэтому

где число С пока не определено.

Выберем

> О и оценим оба последних интеграла. Так как

сходится, найдётся С

такое, что для любого С> С будет иметь место

неравенство

Но тогда, ввиду неотрицательности функции f (x, y), каково бы ни было

А ≥ а, и

(2.26)

Выберем и зафиксируем С > С

и оценим первый интеграл. По теореме Дини сходится равномерно на отрезке [с; С],

поэтому существует

такое, что если А> , то для любого у [с; С]

Поэтому

(2.27)

Итак, если А>

, то, используя (2.26), (2.27), получаем:

Оценка (2.25) получена, следовательно, теорема доказана. ■

2.5 Вычисление интегралов, зависящих от параметра

Рассмотрим интеграл, зависящий от параметра α:

Укажем без доказательства, что если функция f(x,α) непрерывна по x на отрезке

, то функция

Является непрерывной функцией на отрезке

. Следовательно, функцию I(α) можно интегрировать по α на отрезке :

Выражение, стоящее справа, есть двукратный интеграл от функции f(x,α) по прямоугольнику, расположенному в плоскости Oxα. Можно изменить порядок интегрирования в этом интеграле:

Эта формула показывает, что для интегрирования интеграла, зависящего от параметра α, достаточно проинтегрировать по параметру α подынтегральное выражение. Эта формула также бывает полезна при вычислении определенных интегралов.

Пример 2.14 Показать, что интеграл

сходится, и вычислить этот интеграл.

∆ Обозначим

Тогда

Так как существует конечный

то интеграл J существует и сходится (по определению), причем .▲

Пример2.15 Вычислить интеграл

Неопределенный интеграл от подынтегральной функции не берется в элементарных функциях. Для его вычисления рассмотрим другой интеграл, который можно легко вычислить:

(α>0).

Интегрируя это равенство в пределах от α=a до α=b, получим

Меняя порядок интегрирования в первом интеграле, перепишем это равенство в следующем виде:

Откуда, вычисляя внутренний интеграл, получаем

■

3Литература

1. Тер-Крикоров А.М., Курс математического анализа: Учебное пособие для вузов. -2-е изд, М.:Физмалит: Лаборатория Базовых Знаний, 2003.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учебное пособие для втузов.т.2,13-е изд. М.: Наука , Главная редакция физико-математической литературы, 1985.

3. Ильин В.А., Позняк Э.Г., Основы математического анализа. Части 1,2, М.: Наука, 1971, 1973.

4. Рудин У., Основы математического анализа, М.: Мир, 1966.

5. Зорич В.А., Математический анализ. Части 1,2, М.: Наука, 1981, 1984.

6. Фихтенгольц Г.М., Основы математического анализа. Тома 1.2, М.: Наука, 1968.