Теория вероятности 3 (стр. 3 из 3)
- Дисперсия целочисленной случайной величины может быть вычислена с помощью производящей функции последовательности.
[править] Свойства
- Дисперсия любой случайной величины неотрицательна:
- Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
- Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: D[a] = 0. Верно и обратное: если D[X] = 0, то X = M[X] почти всюду;
- Дисперсия суммы двух случайных величин равна:
, где 
– их ковариация;- Для дисперсии произвольной линейной комбинации нескольких случайных величин имеет место равенство:
, где 
;- В частности, D[X1 + ... + Xn] = D[X1] + ... + D[Xn] для любых независимых или некоррелированных случайных величин, так как их ковариации равны нулю;
-
-
-
[править] Пример
Пусть случайная величина
имеет стандартное непрерывное равномерное распределение на 
т. е. её плотность вероятности задана равенством 
Тогда
и
Тогда
Пусть
— фиксированное вероятностное пространство. Пусть 
суть два случайных события, причём 
. Тогда условной вероятностью события A при условии события B называется 
.[править] Замечания
- Прямо из определения очевидно следует, что
.- Если
, то изложенное определение условной вероятности неприменимо. - Условная вероятность является вероятностью, то есть функция
, заданная формулой
,удовлетворяет всем аксиомам вероятностной меры.
[править] Пример
Если A,B — несовместимые события, то есть
и 
, то 
и
.Пусть есть бесконечная последовательность одинаково распределённых и некоррелированных случайных величин
, определённых на одном вероятностном пространстве . То есть их ковариация 
. Пусть 
. Обозначим Sn выборочное среднее первых n членов: 
.Тогда
.[править] Усиленный закон больших чисел
Пусть есть бесконечная последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин
, определённых на одном вероятностном пространстве . Пусть . Обозначим Sn выборочное среднее первых n членов: .Тогда
почти наверное.Классическая формулировка Ц.П.Т.
Пусть
есть бесконечная последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, имеющих конечное математическое ожидание и дисперсию. Обозначим последние μ и σ2, соответственно. Пусть 
. Тогда 
по распределению при 
,где N(0,1) — нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением, равным единице. Обозначив символом
выборочное среднее первых n величин, то есть 
, мы можем переписать результат центральной предельной теоремы в следующем виде: 
по распределению при .[править] Замечания
- Неформально говоря, классическая центральная предельная теорема утверждает, что сумма n независимых одинаково распределённых случайных величин имеет распределение, близкое к N(nμ,nσ2). Эквивалентно, имеет распределение близкое к N(μ,σ2 / n).
- Так как функция распределения стандартного нормального распределения непрерывна, сходимость к этому распределению эквивалентна поточечной сходимости функций распределения к функции распределения стандартного нормального распределения. Положив
, получаем 
, где Φ(x) — функция распределения стандартного нормального распределения. - Центральная предельная теорема в классической формулировке доказывается методом характеристических функций (теорема Леви о непрерывности).
- Вообще говоря, из сходимости функций распределения не вытекает сходимость плотностей. Тем не менее в данном классическом случае имеет место.
[править] Локальная Ц.П.Т.
В предположениях классической формулировки, допустим в дополнение, что распределение случайных величин
абсолютно непрерывно, то есть оно имеет плотность. Тогда распределение Zn также абсолютно непрерывно, и более того, 
при ,где
- плотность случайной величины Zn, а в правой части стоит плотность стандартного нормального распределения.[править] Некоторые обобщения
Результат классической центральной предельной теоремы справедлив для ситуаций гораздо более общих, чем полная независимость и одинаковая распределённость.
[править] Ц.П.Т. Линдеберга
Пусть независимые случайные величины
определены на одном и том же вероятностном пространстве и имеют конечные математические ожидания и дисперсии: 
. Как и прежде построим частичные суммы . Тогда в частности, 
. Наконец, пусть выполняется условие Линдеберга: 
Тогда
по распределению при .[править] Ц.П.Т. Ляпунова
Пусть выполнены базовые предположения Ц.П.Т. Линдеберга. Пусть случайные величины {Xi} имеют конечный третий момент. Тогда определена последовательность
. Если предел 
(условие Ляпунова),то
по распределению при .[править] Ц.П.Т. для мартингалов
Пусть процесс
является мартингалом. Введём случайные процессы 
и τn следующим образом: 
и
.Тогда
по распределению при .