Системы эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений (стр. 3 из 10)

Для построения систем имеющих одну и ту же отражающую функцию можно воспользоваться теоремой:

Лемма 2.1 Для всякой непрерывно-дифференцируемой функции

, для которой выполнены тождества , имеют место соотношения

Доказательство. Продифференцируем тождество

по

и по . Получим тождества

из которых следует неравенство

и тождества и .

Лемма доказана.

Теорема 2.1. Пусть

есть отражающая функция некоторой дифференциальной системы с непрерывно дифференцируемой правой частью, а для дважды непрерывно дифференцируемой функции выполнено

Тогда, для того, чтобы в области

функция совпадала с , необходимо и достаточно, чтобы рассматриваемая система имела вид:

где

есть некоторая непрерывно дифференцируемая вектор-функция.

Доказательство. Необходимость. Пусть

есть отражающая функция некоторой системы

и пусть

совпадает с

.

Положим

Тогда используя тождества

и . и основное соотношение для отражающей функции , получим тождества

из которых следует, что всякая система, для которой

есть отражающая функция, может быть записана в виде

.

Достаточность. Пусть в системе

есть такая функция, для которой решение системы

однозначно определяется своими начальными данными. Тогда, в чём можно убедиться подстановкой, выполняется основное соотношение для отражающей функции

. Поэтому, согласно третьему свойству отражающей функции, функция

является отражающей функцией системы

.

Теорема доказана.

Т.о. варьируя вектор-функцию

мы получим все системы имеющие заданную отражающую функцию.

У эквивалентных систем одинаковое количество периодических решений, т.к начальные данные периодических решений определяются из уравнения

, где половина периода правой части соответствующих дифференциальных систем.

Пусть известно, что системы

и

принадлежат одному классу эквивалентности, и пусть одна из этих систем, скажем, система

является периодической. Тогда если решения и систем и соответственно продолжимы на отрезок , то , хотя система может быть непериодической. Откуда следует

Теорема 2.2. Пусть система

с периодической по правой частью и система принадлежат одному классу эквивалентности, а их решения существуют при всех . Тогда между периодическими решениями системы и решениями двухточечной задачи для системы можно установить взаимооднозначное соответствие.

Уравнения

например, принадлежат одному классу эквивалентности с отражающей функцией

. Единственное периодическое решение

первого уравнения соответствует единственному решению задачи

второго уравнения.

§3. Возмущения дифференциальных систем, не меняющие отражающей функции

Наряду с дифференциальной системой