Системы эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений (стр. 5 из 10)

Теорема доказана.

Следствие3.1. Пусть функции

являются решениями дифференциального уравнения в частных производных . Тогда все дифференциальные системы вида

где

нечетные скалярные непрерывные функции, такие, что ряд сходится к непрерывно дифференцируемой функции, эквивалентны между собой в смысле совпадения отражающих функций и все они эквивалентны дифференциальной системе .

Доказательство следствия очевидно и сводится к последовательному применению теоремы 3.1

Замечание 3.1. В [2, с.24] доказано, что правая часть стационарной дифференциальной системы, эквивалентной дифференциальной системе

в смысле совпадения отражающих функций, если такая система существует, может быть найдена по формуле Учитывая этот факт и сформулированное выше следствие, для нас важно установить, когда вектор-функция может быть представлена в виде

где

решения уравнения . Последующие рассмотрения направлены на решение этой задачи. Решив ее, мы сможем заменить изучение свойств решений нестационарных систем изучением свойств решений стационарных систем вида или, если угодно, использовать уже изученные стационарные системы для изучения нестационарных систем.

§4. Стационарный интеграл

Рассмотрим систему

,

с непрерывной в области

функцией .

Дифференцируемая функция

, заданная в некоторой подобласти области , называется первым интегралом системы в области , если для любого решения , , системы , график которого расположен в функция , , постоянна, т.е. зависит только от выбора решения и не зависит от .

Пусть

, есть некоторая функция. Производной от функции в силу системы назовем функцию , определяемую равенством

Лемма 4.1. Для любого решения

, , системы , график которого расположен в , имеет место тождество

.

Доказательство. Действительно,

Лемма 4.2. Дифференцируемая функция

, представляет собой первый интеграл системы тогда и только тогда, когда производная в силу системы тождественно в обращается в нуль.

Необходимость. Пусть

есть первый интеграл системы . Тогда для любого решения этой системы, применяя лемму 1 будем иметь тождества

откуда при

получим равенство справедливое при всех значениях и . Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть теперь

при всех Тогда для любого решения системы на основании леммы1 будем иметь тождество

а с ним и достаточность.

Лемма доказана.

Из определения первого интеграла следует, что постоянная на

функция также является первым интегралом системы . Первый интеграл будем называть невырожденным на , если при всех выполняется неравенство