Системы эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений (стр. 6 из 10)

Функцию

будем называть стационарным первым интегралом системы , если она не зависит от и является первым интегралом системы .

Теорема 4.1. Для того, чтобы система

с раз дифференцируемой по правой частью имела в невырожденный стационарный первый интеграл, необходимо выполнение тождества

где

, компоненты вектор-функции .

Доказательство. Пусть

стационарный первый интеграл системы . Тогда согласно лемме 4.2 должно выполняться тождество

Это означает, что при каждом фиксированном

функции линейно зависимы на интервале их существования. Поэтому вронскиан этих функций (левая часть тождества ) обязан обращаться в нуль.

Теорема доказана.

Выясним условия, при которых система

имеет стационарный интеграл. Будем считать, что условия теоремы 4.1 выполнены. Составим систему линейных уравнений относительно неизвестных функций

………………………………………….

Теорема 4.2. Для того, чтобы система

с раз дифференцируемой по правой частью имела хотя бы один стационарный интеграл , необходимо и достаточно существование такого независящего от решения системы , для которого уравнение Пфаффа

интегрируется одним соотношением

.

Необходимость. Пусть система

имеет стационарный интеграл

. Тогда согласно лемме 4.2 должно выполняться тождество

. Дифференцируя тождество раз по , убеждаемся в том, что совокупность функций решение системы .

Достаточность. Пусть теперь система

имеет не зависящее от решение, для которого уравнение Пфаффа

интегрируется одним соотношением . Тогда существует [6] такая функция , для которой

Поэтому

так как

удовлетворяет первому уравнению системы . Из тождества следует достаточность.

Теорема доказана.

Теорема 4.3. Пусть система

имеет линейно независимых при каждом решений

, ,

для которых соответствующие уравнения Пфаффа

интегрируется с помощью соотношений

.

Тогда

представляют собой независимых стационарных интегралов системы .

Доказательство. Согласно теореме 4.2 функции

являются первыми интегралами системы . Покажем, что они независимы. Отметим, что для каждой функции существует функция , для которой

Поэтому матрица Якоби

имеет вид

Из линейной независимости векторов

, при каждом следует, что при всех ранг матрицы Якоби равен . Поэтому функции , , являются независимыми [7, c.682].

Теорема доказана.

Теорема 4.4. Пусть выполнены все условия теоремы 4.1 и существует некоторое

при котором уравнение Пфаффа

не вырождается в тождество и интегрируется одним соотношением

. Тогда функция является независимым стационарным первым интегралом системы . Всякий другой стационарный первый интеграл зависит от .