Системы эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений (стр. 7 из 10)

Доказательство. Так как уравнение

не вырождается в тождество, то для функций

, переменного при фиксированном выполнены все условия примечания к теореме 1 §1 [2, с 13]. На основании этого примечания функции линейно зависимы. Соответствующие коэффициенты могут быть найдены путём разложения по элементам первой строки определителя

Эти коэффициенты образуют единственное с точностью до множителя решение

системы , которому соответствует уравнение Пфаффа вида

. Ссылка на теорему 4.3 завершит доказательство.

§5. Способ построения дифференциальных систем, эквивалентных стационарным системам

Как известно исследованию стационарных дифференциальных систем посвящено огромное число работ. Это объясняется тем, что эти системы во многих отношениях являются более просто исследуемыми, чем неавтономные системы. Благодаря этому целесообразно использовать для изучения дифференциальных неавтономных систем стационарные системы, если удаётся установить одинаковость качественного поведения решений этих систем. Такая эквивалентность в поведении решений может быть установлена с использованием метода отражающей функции. Когда две системы имеют одну и ту же отражающую функцию, то качественное поведение решений этих систем одинаково, т.е. периодические решения остаются таковыми, ограниченные - ограниченными, устойчивые - устойчивыми. В этом параграфе с использованием [1] и понятия первого интеграла системы показана возможность построения дифференциальных систем, эквивалентных данной (стационарной).

Пусть имеется дифференциальная система

с правой частью, удовлетворяющей теореме существования и единственности. Предположим, что функция

является первым интегралом системы .

Теорема 5.1. Дифференциальная система

в которой

нечётная скалярная функция, а функция является непрерывно дифференцируемой функцией, имеет ту же отражающую функцию что и система

Доказательство. Правую часть системы

обозначим . Положим, и покажем, что функция удовлетворяет уравнению

Находим

. Подставим эти выражения в левую часть уравнения . Получим

Выражение

в силу определения интеграла системы и, следовательно, функция действительно удовлетворяет уравнению . Согласно теореме 2 [см.5] системы и эквивалентны.

Из теоремы вытекают следующие замечания:

Замечание 5.1. Известно, что если дифференциальная система

эквивалентна некоторой стационарной, то она эквивалентна и системе [3, с.24; 4, с.79]. Положив , и используя утверждение теоремы 5.1, мы построим нестационарную дифференциальную систему, эквивалентную .

Замечание 5.2 Особый интерес представляет построение нестационарных систем, эквивалентных хорошо исследованной стационарной. Приведём пример такого построения. Как известно исследованию стационарных дифференциальных систем посвящено огромное количество работ. Это объясняется тем, что эти системы во многих отношениях являются более просто исследуемыми чем неавтономные системы. Если различные дифференциальные системы имеют одну и ту же отражающую функцию, то значит они имеют одно и то же отображение за период в том случае, когда эти системы периодичны. При этом следует учитывать, что качественное поведение решений дифференциальных систем с одной и той же отражающей функцией одинаково.

Рассмотрим дифференциальную систему

которая имеет, в зависимости от знака

, асимптотически устойчивый или неустойчивый предельный цикл .

Справедлива следующая

Теорема 5.2. Дифференциальная система

в которой

, ,

функции

, непрерывные нечётные, вектор функции

, ,

где

и функции

и непрерывно дифференцируемы, имеет ту же отражающую функцию, что и система .

Доказательство. Правую часть системы

обозначим и положим

.

Проверим для указанного

выполнение равенства

.

Находим

Здесь учтены равенства

Аналогичным образом легко убедиться, что и

является решением уравнения