Системы эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений (стр. 9 из 10)

где

- нечётная функция, эквивалентно уравнению .

Это следует из теоремы 2 [8]

Следствие 5.1.

Уравнение

эквивалентно уравнению Риккати вида

, в котором

, , .

§6. О некоторых аспектах применения отражающей функции для исследования свойств решений дифференциальных систем

Рассмотрим систему

Лемма 6.1. Пусть

периодическая дифференциальная система с решением и отражающей функцией эквивалентна в смысле совпадения отражающих функций некоторой дифференциальной системе с решением и отражающей функцией , причём имеет место равенство , а и продолжимы на . Тогда для любого натурального имеет место равенство

Теорема 6.1. Пусть

периодическая дифференциальная система с решением эквивалентна в смысле совпадения отражающих функций стационарной системе

с решением

. И пусть выполняются следующие условия:

А) верно равенство

Б)

ограничено на ;

В) существует число

, такое, что неравенство выполняется для всякого натурального ;

Г) все решения

системы , для которых верно неравенство , продолжимы на .

Тогда

продолжимо и ограничено на .

Доказательство. Докажем сначала продолжимость решения

на . Это решение продолжимо на , что следует из условия Г), равенства и условия Б) (при ): . Покажем, что решение продолжимо и на . Заметим, что функция является решением системы и для него выполняются соотношения , справедливость которых следует из основного свойства отражающей функции. Тогда по условию теоремы продолжимо на , т.е. действительно продолжимо на . Индукцией по доказывается, что продолжимо на . В силу произвольности отсюда следует продолжимость на .

Теперь докажем, что

ограничено на . Из продолжимости на тех решений системы , для которых выполняется неравенство , следует существование числа , для которых выполняется неравенство для любого из . Из леммы 6.1 вытекает, что для любого натурального . Поэтому для справедливы соотношения , и, значит, в свою очередь, имеют место соотношения при .

Таким образом, для любого натурального

имеет место неравенство, обозначающее ограниченность решения на .

Теорема доказана.

Теорема 6.2. Пусть выполнены условия А), В), и Г) теоремы 6.1, а решение

системы является периодическим и асимптотически устойчивым (асимптотически неустойчивым). Тогда решение системы также периодично и асимптотически устойчиво (асимптотически неустойчиво).

Доказательство. Пусть решение

является периодическим. Тогда верны равенства

,

т.е.

. Это означает, что является неподвижной точкой отображения за период . Откуда и следует периодичность решения .