Системы эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений (стр. 1 из 10)

Многочисленные нужды практики приводят нас к необходимости моделирования динамики развития реальных систем, а тем самым и зачастую к необходимости построения систем дифференциальных уравнений с определёнными свойствами. При моделировании задач классической физики дифференциальные равнения появляются естественным образом, когда мы формулируем на математическом языке соответствующие физические законы. В последнее время, однако, всё чаще приходится иметь дело с более сложными реальными системами, и здесь на первый план выходит качественное моделирование. При этом очень часто нам приходится составлять модели таких реальных систем, для которых общие фундаментальные законы могут служить лишь некоторым ориентиром. В этом случае мы, как правило, вынуждены отказаться от точных количественных оценок и строить модель, отражающую лишь качественные стороны поведения системы. Обычно это достигается искусным заданием правых частей соответствующей дифференциальной системы.

Полученная при моделировании дифференциальная система оказывается, как правило, достаточно сложной для исследования. Поскольку наша задача состоит лишь в выяснении качественной стороны эволюции реальной системы, то при изучении полученной дифференциальной системы мы можем заменить её на качественно эквивалентную её дифференциальную систему.

Таким образом, практика ставит перед нами следующие задачи:

задача некоторой унификации построения дифференциальных систем с заданными качественными свойствами;

в том случае, когда уже построена некоторая сложная дифференциальная система, встаёт задача о замене этой системы ей качественно эквивалентной, но удобной для дальнейшего исследования.

Для решения этих задач было бы разумно с одной стороны, иметь набор соответствующих модельных систем, т.е. достаточно богатый набор качественно различных дифференциальных систем, а с другой стороны, обладать математическим аппаратом, позволяющим устанавливать качественную эквивалентность модельной системы и исследуемой дифференциальной системы.

Качественное поведение решений дифференциальных систем во многом определяется наличием и количеством периодических решений, их начальными условиями.

Для выяснения вопросов о наличии и количестве периодических решений периодических систем наиболее часто используется отображение Пуанкаре и метод отражающей функции. Ниже будут приведены некоторые сведения о них.

Значительное число работ учёных всех стран мира посвящено качественному исследованию автономных дифференциальных систем небольших размерностей.

Неавтономные дифференциальные системы даже не высоких размерностей изучаются менее интенсивно из-за отсутствия методик их прямого исследования.

Получить сведения, о качественном поведении решений исследуемой неавтономной дифференциальной системы, возможно, установив её эквивалентность, в смысле совпадения отражающих функций, дифференциальной системы, стационарной или нестационарной, качественный портрет решений которой известен.

В данной работе рассматривается задача о построении дифференциальных систем, эквивалентных в смысле совпадения отражающих функций, системам с известным первым интегралом.

§1. Отображение Пуанкаре

Рассмотрим систему

Будем считать, что эта система удовлетворяет следующим условиям:

а) при всех

задача Коши для системы

имеет единственное решение

б) система

периодична по

, т.е.

Чтобы не делать далее оговорок, будем считать также, что все решения системы

существуют при

Отображение

называют оператором или отображением сдвига вдоль решений системы

[1]. Имеют место следующие свойства оператора сдвига вдоль решений системы

Каждое из этих свойств вытекает из свойств функции

Докажем, к примеру, свойство

, которое равносильно тождеству

Для его доказательства отметим, что в силу

периодичности системы

функция

, как и функция

является решением системы

. При

эти решения совпадают. Поэтому они обязаны совпадать и при всех

, в том числе и при

т.е. должно иметь место тождество

, а с ним и свойство

Отображение

при любом

называют отображением за период, или отображением Пуанкаре для системы

. Областью определения отображения Пуанкаре является множество всех тех

для которых решение

системы

определено при всех

Общий принцип.

Для того, чтобы продолжимое на

решение

системы

было

периодическим, необходимо и достаточно, чтобы точка

была неподвижной точкой отображения Пуанкаре