Дифференциальные системы эквивалентные автономным системам с известным первым интегралом (стр. 1 из 4)

Министерство образования Республики Беларусь

Гомельский Государственный университет имени Франциска Скорины

Курсовая работа

«Дифференциальные системы, эквивалентные автономным системам с известным первым интегралом»

Гомель 2006

Реферат

Курсовая работа состоит из 19 страниц, 3-х источников.

Ключевые слова: эквивалентная система, первый интеграл дифференциальной системы, отражающая функция, эквивалентность систем в смысле совпадения отражающих функций, непрерывно дифференцируемая функция, непрерывная скалярная нечётная функция.

Целью курсовой работы является нахождение связи между первым интегралом системы и эквивалентными системами.

Содержание

Введение

Отражающая функция

Первый интеграл дифференциальной системы и условия его существования

Возмущения дифференциальных систем, не изменяющих временных симметрий

Общее решение

Заключение

Список использованных источников

Введение

В курсовой работе мы находим связь между первым интегралом и эквивалентными системами.

В результате приходим к теореме, которая звучит так:

Пусть

первый интеграл системы , (1). Если , удовлетворяет уравнению , то указанная система эквивалентна системе , , (2). И если, кроме того , где - некоторая функция ( -может равняться const), тогда первый интеграл системы (2) выражается следующей формулой , где и .

Отражающая функция

Определение. Рассмотрим систему

(1)

cчитая, что правая часть которой непрерывна и имеет непрерывные частные производные по

. Общее решение в форме Коши обозначено через ). Через обозначим интервал существования решения .

Пусть

Отражающей функцией системы (1) назовём дифференцируемую функцию

, определяемую формулой

Для отражающей функции справедливы свойства:

1.) для любого решения

системы (1) верно тождество

2.) для отражающей функции F любой системы выполнены тождества

3) дифференцируемая функция

будет отражающей функцией системы (1) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет системе уравнений в частных производных

и начальному условию

Рассмотрим систему

(1*) считая, что её правая часть непрерывно дифференцируемая. Будем говорить, что множество систем вида (1*) образует класс эквивалентности, если существует дифференцируемая функция со свойствами: 1) отражающая функция любой системы из рассматриваемого множества совпадает в области определения с функцией ; 2) Любая система вида (1*), отражающая функция которая совпадает в области с функцией , содержится в рассматриваемом множестве.

Две системы вида (1*), принадлежащие одному классу эквивалентности, будем называть эквивалентными. Допуская определённую вольность речи, будем говорить также, что они имеют одну и ту же отражающую функцию. Функцию

при этом будем называть отражающей функцией класса, а класс – соответствующим отражающей функции .

Первый интеграл дифференциальной системы и условия его существования

Рассмотрим систему

= (1) с непрерывной в области D функцией f. Дифференцируемая функция U (t, x), заданная в некоторой подобласти G области D, называется первым интегралом системы (1) в области G, если для любого решения x(t), t , системы (1), график которого расположен в G функция U (t, x(t)), t , постоянна, т.е. U (t, x(t)) зависит только от выбора решения x(t) и не зависит от t.

Пусть V (t, x), V:G

R, есть некоторая функция. Производной от функции V в силу системы (1) назовем функцию V V R, определяемую равенством

.

Обозначим V

(t, x(t)) t .

Лемма

Дифференцируемая функция U (t, x), U:G

R, представляет собой первый интеграл системы (1) тогда и только тогда, когда производная U в силу системы (1) тождественно в G обращается в нуль.

Необходимость. Пусть U (t, x) есть первый интеграл системы (1). Тогда для любого решения x(t) этой системы на основании определения, будем иметь тождества

U

Откуда при t=t

получим равенство U (t справедливое при всех значениях t и x(t ). Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть теперь U

при всех (t, x) Тогда для любого решения x(t) системы (1) из определения будем иметь тождества

а с ним и достаточность.

Из определения первого интеграла следует, что постоянная на G функция также является первым интегралом системы (1). По этому первым интегралом на G будем называть функцию

, для которой выполняется неравенство

и

Функцию U(x) будем называть стационарным первым интегралом системы (1), если она не зависит от t и является первым интегралом системы (1).