Собственные интегралы, зависящие от параметра (стр. 2 из 6)
Теорема 3 (предельный переход по параметру под знаком интеграла). Если функция
непрерывна при постоянном значении 
на 
и сходится равномерно по переменной 
к предельной функции 
при 
, то тогда имеет место равенство 
(2)Доказательство.
Непрерывность
следует из теоремы 2, значит, она интегрируема на отрезке 
. В силу равномерной сходимости к выполняется 
. Тогда при тех же 
и 
имеем: 
откуда следует 
, что доказываетформулу (2).Замечание 3.
Равенство (2) можно записать и в другом виде
. (2`)Следствие 1.
Если функция
при постоянном непрерывна по 
и при возрастании стремится, монотонно возрастая, к непрерывной предельной функции , то справедливы формулы (2) и (2`).В предположении, что область
представляет собой конечный промежуток 
, рассмотрим вопрос о непрерывности функции 
.Пример (№3713 (в)). Найти
.1. функция
непрерывная функция на 
. Функции 
и 
также непрерывны на 
.2.
непрерывная функция (т.4 и сл.2) в промежутке , значит 
3.
.Теорема 4 (о непрерывности интеграла как функции параметра). Пусть функция
определена и непрерывна в прямоугольнике 
, тогда интеграл 
будет непрерывной функцией от параметра в промежутке .Доказательство.
Так как
непрерывна на замкнутом множестве, то по теореме Кантора она равномерно непрерывна на данном прямоугольнике 
. Возьмем любое 
и зафиксируем 
. Тогда нашему значению будет соответствовать 
, такое, что для любых двух точек 
, 
принадлежащих , из неравенств 
и 
, будет следовать 
. Положим 
, 
, где , 
- любые из , и 
, где . Тогда получим 
. Это означает, что функция равномерно стремится к 
. В таком случае по теореме 3 
, а уже отсюда следует равенство 
, то есть наша функция непрерывна на .Замечание 4. Совершенно аналогично доказывается теорема для
, где .Следствие 2. Если
непрерывна на прямоугольнике , то .Пример. Найти
.1.
непрерывна на 
2. тогда по теореме 4. и следствию 2 получаем
Пункт 3. Дифференцирование под знаком интеграла
При изучении свойств функции
важное значение имеет вопрос о ее производной по параметру. Вычислить производную можно по формуле 
, которую вывел Лейбниц 1697. Рассмотрим теорему, устанавливающую простые достаточные условия для применимости этой формулы.Теорема (о дифференцировании интеграла, зависящего от параметра). Пусть функция
определена и непрерывна в прямоугольнике и имеет там непрерывную частную производную 
. Пусть 
, 
. Тогда:1. функция
имеет в промежутке производную 
;