Смекни!
smekni.com

Собственные интегралы, зависящие от параметра (стр. 3 из 6)

2.

, то есть
,
.

Доказательство.

Возьмем любую точку

и зафиксируем ее. Придадим
приращение
и точка
. Тогда
,
,

(1)

По теореме Лагранжа

. Следовательно,

. (2)

Переходя в (2) к пределу при

, приняв во внимание теорему о допустимости предельного перехода под знаком интеграла, получим:

.

Из этого следует, что

существует, причем
. Так как
- любое
, то
существует для любого
, причем
.

Пример. Найти производную

функции
.

1.

непрерывна на

2.

. Эта функция также непрерывна на
.

3.

4.

Пункт 4. Интегрирование по параметру под знаком интеграла

Рассмотрим вопрос об интегрировании по параметру

функции
. Если она интегрируема, то интеграл будет иметь вид
. Достаточное условие для равенства двух повторных интегралов дает следующая теорема.

Теорема. Если

непрерывная по обеим переменным функция на прямоугольнике
, то
интегрируемая на промежутке
функция и справедливо равенство
, то есть
.

Также можно расписать с помощью повторных интегралов следующим образом

.

Докажем более общее равенство.

для любого
. (1)

В левой и правой частях равенства (1) мы имеем две функции от параметра t. Вычислим их производные по t. Так как

, то
(т.4 п.2), а следовательно
есть интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции. Тогда по теореме Барроу:

,
. (2)

В правой части стоит интеграл

, где
. Действительно функция
удовлетворяет условиям теоремы п.3, она также непрерывна по
в силу теоремы 4 п.2.Мы можем найти производную
, которая будет непрерывна как функция двух переменных.

Тогда по теореме о дифференцировании по параметру под знаком интеграла

,
. (3)

Видим, что левая и правая части равенства (1) имеют в промежутке

совпадающие производные (см. (2) и (3)). А значит они отличаются в этом промежутке только на постоянную величину, т. е.
.

. (4)

Положив в (4) t=c , получим

. Значит, будем иметь вместо (4) для любого

. (5)

Пусть в (5) t=d, получим

.

Что и требовалось получить.


Глава 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра

Пункт 1. Равномерная сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра

При рассмотрении теории интегралов, зависящих от параметра, в случае несобственных интегралов особую роль играет понятие равномерной сходимости. Выясним это понятие сначала для несобственных интегралов первого рода (НИЗП-1), затем для интегралов второго рода (НИЗП-2).

Пусть функция

определена и непрерывна на некотором прямоугольнике
и при любом фиксированном
существует несобственный интеграл, зависящий от параметра, этой функции на любом промежутке
. Тогда интеграл сходится и равен

.

В этом случае

называют несобственным интегралом первого рода (НИЗП-1).

Утверждение о том, что

сходится при каждом
означает следующее: при каждом фиксированном

.

Следовательно,

или
.

Это значит, что для каждого

по любому
можно указать число
такое, что если
, то
. Важно заметить, что
зависит и от
,и от
:
. Если же для любого
можно указать число
, зависящее только от
, такое, что при
выполняется
для
, то в этом случае
называется равномерно сходящимся относительно параметра
.