2.
, то есть , .Доказательство.
Возьмем любую точку
и зафиксируем ее. Придадим приращение и точка . Тогда , , (1)По теореме Лагранжа
. Следовательно, . (2)Переходя в (2) к пределу при
, приняв во внимание теорему о допустимости предельного перехода под знаком интеграла, получим: .Из этого следует, что
существует, причем . Так как - любое , то существует для любого , причем .Пример. Найти производную
функции .1.
непрерывна на2.
. Эта функция также непрерывна на .3.
4.
Пункт 4. Интегрирование по параметру под знаком интеграла
Рассмотрим вопрос об интегрировании по параметру
функции . Если она интегрируема, то интеграл будет иметь вид . Достаточное условие для равенства двух повторных интегралов дает следующая теорема.Теорема. Если
непрерывная по обеим переменным функция на прямоугольнике , то интегрируемая на промежутке функция и справедливо равенство , то есть .Также можно расписать с помощью повторных интегралов следующим образом
.Докажем более общее равенство.
для любого . (1)В левой и правой частях равенства (1) мы имеем две функции от параметра t. Вычислим их производные по t. Так как
, то (т.4 п.2), а следовательно есть интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции. Тогда по теореме Барроу: , . (2)В правой части стоит интеграл
, где . Действительно функция удовлетворяет условиям теоремы п.3, она также непрерывна по в силу теоремы 4 п.2.Мы можем найти производную , которая будет непрерывна как функция двух переменных.Тогда по теореме о дифференцировании по параметру под знаком интеграла
, . (3)Видим, что левая и правая части равенства (1) имеют в промежутке
совпадающие производные (см. (2) и (3)). А значит они отличаются в этом промежутке только на постоянную величину, т. е. . . (4)Положив в (4) t=c , получим
. Значит, будем иметь вместо (4) для любого . (5)Пусть в (5) t=d, получим
.Что и требовалось получить.
Глава 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
Пункт 1. Равномерная сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра
При рассмотрении теории интегралов, зависящих от параметра, в случае несобственных интегралов особую роль играет понятие равномерной сходимости. Выясним это понятие сначала для несобственных интегралов первого рода (НИЗП-1), затем для интегралов второго рода (НИЗП-2).
Пусть функция
определена и непрерывна на некотором прямоугольнике и при любом фиксированном существует несобственный интеграл, зависящий от параметра, этой функции на любом промежутке . Тогда интеграл сходится и равен .В этом случае
называют несобственным интегралом первого рода (НИЗП-1).Утверждение о том, что
сходится при каждом означает следующее: при каждом фиксированном .Следовательно,
или .Это значит, что для каждого
по любому можно указать число такое, что если , то . Важно заметить, что зависит и от ,и от : . Если же для любого можно указать число , зависящее только от , такое, что при выполняется для , то в этом случае называется равномерно сходящимся относительно параметра .