Доказательство.
При любом
выполняется равенство . (2)Так как функция
непрерывна при и , по теореме о непрерывности интеграла как функции параметра следует, что (3)Тогда из (2)
.Так как
сходится равномерно, то при произвольном будет . В результате этого оценим левую часть (3) по модулю:в силу (3)
. Последнее означает, что .Так как левая часть существует в этом равенстве, то по определению несобственных интегралов правая часть также существует, причем равная
. То есть справедлива формула (1).Ч.т.д.
Следствие.
Если непрерывная функция
неотрицательная при и интеграл непрерывен по на , то имеет смысл формула (1).Таким образом, мы установили право переставлять два интеграла, из которых один распространен на бесконечный промежуток, а другой – на конечный. Очень часто приходится переставлять интегралы, взятые в бесконечных промежутках по формуле
.Чаще всего такую перестановку сложно проделать.
Теоремы 2. Пусть функция неотрицательна и непрерывна при
, , интегралы и (*) существуют и являются непрерывными функциями по переменным соответственно. Тогда, если существует один из интегралов, то существует и второй, причем они равны между собой.Замечание.
Интегралы (*) будут заведомо интегрированы, если они равномерно сходятся по
и соответственно.Пример. Проинтегрируем функцию
.Имеем
. Все условия т. 2 п. 2 выполняются. Положим , где - любое конечное число. По теореме т. 1 п. 3 .Следовательно, интегрируя обе части равенства по
от 0 до , будем иметь .Но
(это равенство установлено для ; оно верно и при , если в этой точке понимать его в предельной). В том случае для любого конечного примет вид: .Пункт 4. Дифференцирование НИЗП по параметру
Теорема 1. Пусть функция
определена и непрерывна по на промежутке , . Она имеет там непрерывную частную производную , интеграл сходится при каждом на , а сходится равномерно. Тогда справедлива формула . (*)Доказательство.
Так как
непрерывна и сходится равномерно относительно на , то для нее, в силу т. 3 п. 3, выполняется формула (1) пункта 3. Заменим в формуле (1) и получим:Откуда
. Производная правой части последнего равенства существует и равна , значит существует производная и у левой части, причем . Это равенство установлено для , что выполняется формула (*).Ч.т.д.