Собственные интегралы, зависящие от параметра (стр. 1 из 6)

Глава 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра

Пункт 1. Понятие интеграла, зависящего от параметра

Для того чтобы дать определение интеграла, зависящего от параметра, введем функцию

. Пусть эта функция будет определена на некотором множестве , где и , то есть в результате получится множество . Если функция непрерывна в D, то тогда имеет смысл интеграл , где xпринадлежит некоторому конечному или бесконечному промежутку , значит, интеграл может быть несобственным.

На основании этого можно дать определение интеграла, зависящего от параметра.

Определение.

Интеграл

называется интегралом, зависящим от параметра, если интегрируема на промежутке при любом фиксированным , где .

Следовательно,

представляет собой функцию переменной (параметра) , определенную в промежутке . Возможно также существование интеграла при фиксированном , тогда он будет представлять собой функцию переменной (параметра) , определенную в промежутке . Обозначается она так , так что .

Основная задача будет состоять в том, чтобы, зная свойства функции

, получить информацию о свойствах функции . Эти свойства имеют многообразные применения, особенно при вычислении несобственных интегралов.

Пример. Найти интеграл

от функции ,

Функция

непрерывна на отрезке при любом фиксированном , а значит, она интегрируема. Тогда

.

Пункт 2. Предельный переход под знаком интеграла. Непрерывность интеграла как функции параметра

Определение.

Пусть

- это предельная точка множества .Функция называется равномерно сходящейся к функции при по переменной , если выполняются следующие условия:

1. для

при существует конечная предельная функция ;

2.

. (1)

Замечание 1.

В цепочки (1)

зависит только от и не зависит от , а неравенство выполняется при любых одновременно.

Замечание 2.

Если

, то в цепочке (1) неравенство следует заменить на ( ).

Теорема 1 (признак сходимости). Если функция

определена на множестве , то для того, чтобы она имела предельную функцию и сходилась к ней равномерно необходимо и достаточно, чтобы выполнялась цепочка

Докажем теорема так.

Необходимость. Пусть функция

равномерно сходится. Если заменим в определении на и выберем соответственно , а затем возьмем два значения и из так, чтобы выполнялись условия и . В результате получим и откуда следует последнее неравенство в цепочке .

Достаточность. Теперь пусть существует предельная функция

. Нужно доказать равномерную сходимость функции к предельной функции. Для этого совершим переход к пределу в неравенстве при , получается . Что и подтверждает равномерную сходимость к функции .

Теорема 2 (о непрерывности предельной функции). Если функция

при любом фиксированном непрерывна на и равномерно сходится к предельной функции по переменной при , то функция также непрерывна на .

Легко обобщается теорема Дини: если функция

непрерывна для любого фиксированного на и при возрастании функция, монотонно возрастая, стремится к предельной функции , то сходится к равномерно.