Комплексные соединения 2 (стр. 3 из 3)
a = Re z = | z | ∙ cos φ,
b = Im z = | z | ∙ sin φ,
где φ – аргумент комплексного числа z. Таким образом,
z = a + bi = | z | ∙ cos φ + | z | ∙ sin φ ∙ i = | z | ∙ (cos φ + i sin φ).
Произведение двух комплексных чисел z1 = | z1 | ∙ (cos φ1 + i sin φ1) и
z2 = | z2 | ∙ (cos φ2 + i sin φ2) будет равно:
z1 ∙ z2 = | z1 | | z2 | (cos φ1 + i sin φ1) (cos φ2 + i sin φ2) =
= | z1 | | z2 | ((cos φ1 cos φ2 – sin φ1 sin φ2) + i (sin φ1 cos φ2 + cos φ1 sin φ2)) =
= | z1 | | z2 | (cos (φ1 + φ2) + i sin (φ1 + φ2)).
При умножении комплексных чисел их модули необходимо перемножить, а аргументы – сложить.
При делении необходимо произвести обратные операции: поделить модули и вычесть аргументы.
6
ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ И ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ ИЗ КОМПЛЕКСНОГО
ЧИСЛА
Я возвёл комплексное число z = r ∙ (cos φ + i sin φ) в степень n:
zn = rn (cos nφ + i sin nφ).
Это выражение назвали формулой Муавра – в честь английского математика Абрахама де Муавра, открывшего её в 1701 г.
При n = 1, я получил zn = rn (cosφ + i sinφ)n = rn (cos nφ + i sin nφ).
То есть rn (cosφ + i sinφ)n = rn (cos nφ + i sin nφ), или, если разделить на rn ≠ 0: (cosφ + i sinφ)n = (cos nφ + i sin nφ).
Этой формулой можно воспользоваться для выражения синусов и косинусов аргумента nφ через синусы и косинусы аргумента φ. Для этого я применил к левой части формулу бинома Ньютона и учёл формулы для степеней числа i. Получается, что
Отсюда следуют равенства
Суммирование ведётся до тех пор, пока показатель при cos φ не обратится в 0 или в 1 (в зависимости от чётности n). Поскольку в выражение для cos nφ входят лишь чётные степени sin φ, то их можно выразить лишь через cos φ. Для sin nφ при нечётном n можно получить выражение лишь через sin φ, а при чётном n – в виде произведения cos φ на выражение от sinφ.
Извлечение корня из комплексного числа. Как и для действительных чисел, корнем n-й степени из комплексного числа z, где n – натуральное число, называют такое комплексное число w, что wn = z. Корень n-й степени из z обозначают
. Я приведу доказательство, что из любого комплексного числа z можно извлечь корень n-й степени, причём если z ≠ 0, то принимает n различных значений.Я записывал числа в тригонометрической форме.
Пусть z = r (cos φ1 + i sin φ1). Число w я искал в виде w = R (cos φ2 + i sin φ2). Равенство wn = z принимает вид:
Rn (cos nφ2 + i sin nφ2) = r (cos φ1 + i sin φ1).
Но два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются лишь слагаемым, кратным 2π. Значит,
Rn = r,
nφ = φ + 2πk, kZ.
итак, для модуля R искомого числа я получил определённое значение. Что же касается аргумента φ этого числа, он может принимать различные значения в зависимости от значения числа k. Я выяснил, при каких значениях k1 и k2 получаются значения φ, отличающиеся друг от друга на кратное 2π (т. е. одинаковые значения w). Для этого разность
должна быть кратна 2π. Это имеет место тогда и только тогда, когда k1 – k2 делится на n. Отсюда следует, что при r ≠ 0 значениям k = 0, 1, …, n – 1 соответствуют различные значения корня, а k = n даёт то же значение корня, что и при k = 1 и т. д. Число различных значений корня равно n.
Таким образом, я доказал утверждение:
Теорема. Для любого натурального числа n и любого отличного от нуля комплексного числа z существуют n различных значений корня n-й степени.
Если z = r (cos φ + i sin φ), то эти значения выражаются формулой
,где k = 0, 1, …, n – 1.
Все точки wk лежат на окружности радиусом
с центром в начале координат. Аргументы соседних точек отличаются на 
, а потому указанные точки делят окружность на n равных частей. Иными словами, они являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в эту окружность.7
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В общем, я считаю, что цель и задача моего проекта выполнены. Я сам освоил тему и создал наглядное пособие, чтобы облегчить учащимся её изучение и проверку усвоения материала. В ходе исследования я изучил много литературы по данной теме, общался с научным работником, который занимается этой темой профессионально и т.д. В ходе чтения разных книг я отметил для себя наиболее интересные, простые и красивые доказательства теорем по этой теме, одновременно стараясь изложить их в своём свете, так, как я считаю наиболее рациональным.
К достоинствам моего учебника можно отнести краткость и простоту изложения, объединение знаний о комплексных числах воедино, доступность.
Я считаю мой учебник полезным и актуальным для тех учеников, которые хотят узнать больше школьной программы, для тех из них, кто планирует учиться в техническом ВУЗе и в дальнейшем работать по технической специальности.
В ходе исследования я провёл элективный курс для учащихся 11 Б класса прошлого года (25 человек) из 5 занятий и после этого проверил успеваемость и степень усвоения материала. Результат можно видеть на диаграмме:
Из программы средней школы тема "Комплексные числа" исключена, но в гимназии существует элективный курс "Дискретная математика", составной частью которого являются комплексные числа. Моё пособие будет хорошим подспорьем учителям в ходе преподавания, а также всем желающим самостоятельно изучить данный раздел математики.
8
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Математика. Энциклопедия для детей под редакцией М. Д. Аксёновой. – Москва-2000.
2. Алгебра и математический анализ для 11 класса под редакцией Н. Я. Виленкина. – Москва-1996.
3. История математики в школе под редакцией Г. И. Глейзер. – Москва-1983.
4. Избранные вопросы математики под редакцией И. Н. Антипова. – Москва-1979.
5. За страницами учебника математики под редакцией Н. Я. Виленкина. - Москва-1996.