Комплексные соединения 2 (стр. 1 из 3)

Исследовательская работа

Выполнил:

ученик 11 «А» класса

Дударев Александр

Руководитель:

учитель высшей категории

Поддельская В. Б

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 2

История развития учения о комплексных числах 2

Действия с комплексными числами 4

Решение уравнений с комплексной переменной 7

Геометрия комплексных чисел 7

Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа 9

Заключение 11

Список литературы 12

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

1

ВВЕДЕНИЕ

Впервые я узнал о комплексных числах в 5-ом классе, когда, читая энциклопедию, натолкнулся на это словосочетание. Я заинтересовался и решил прочитать статью до конца. Из неё я узнал, что вообще представляют собой комплексные числа, как с ними работать, где они применяются. На этом моё первое знакомство с комплексными числами закончилось. Я вспомнил о них лишь тогда, когда мой преподаватель по математике предложила мне тему работы в Малой Академии Наук – комплексные числа. Я сразу же согласился. Мой интерес возрос ещё больше, когда я узнал много нового о комплексных числах. Вот результат моей работы над этой темой.

Моей целью являлось изучение комплексных чисел как раздела математики, а также создание наглядного электронного пособия для учащихся старших классов и студентов первого курса технических ВУЗов.

Я считаю, что моя тема актуальна, так как хотя в наше время довольно много научной и учебной литературы, но далеко не во всех изданиях материал изложен ясно, понятно и доступно для учащихся.

Задача, которую я ставил перед собой, – проведение мониторинга (исследования) по изучению темы "Комплексные числа" по данному учебному пособию среди учащихся 11 класса.

2

ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ УЧЕНИЯ О КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЛАХ

Для решения алгебраических уравнений недостаточно действительных чисел. Поэтому естественно стремление сделать эти уравнения разрешимыми, что в свою очередь приводит к расширению понятия числа. Например, для того чтобы любое уравнение х + a = b имело корни, положительных чисел недостаточно и поэтому возникает потребность ввести отрицательные числа и нуль.

Древнегреческие математики считали, что, a = с и b = a только натуральные числа, но в практических расчетах за два тысячелетия до нашей эры в Древнем Египте и Древнем Вавилоне уже применялись дроби. Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел – это было сделано китайскими математиками за 2 века до нашей эры. Отрицательные числа применял в III веке нашей эры древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действий над ними, а в VII веке нашей эры эти числа подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменение величин. Уже в VIII веке нашей эры было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значение – положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратные корни извлечь нельзя: нет такого числа х, чтобы х² = - 9. В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений содержатся кубические и квадратные корни. Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень (например, для уравнения х³ + 3х – 4 = 0), а если оно имело 3 действительных корня (например, х³ – 7х + 6 = 0),то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим 3 корням уравнения ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.

Чтобы объяснить получившийся парадокс, итальянский алгебраист Джироламо Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений х + у = 10, xy = 40 не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решение всегда х = 5 ±

, у = 5 ± , нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать, что ∙ = -a. Кардано называл такие величины «чисто отрицательными» и даже «софистически отрицательными», считая их бесполезными, и стремился не применять их. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение этой величины. Но уже в 1572 г. вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название «мнимые числа» ввел в 1637 г. французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 г. один из крупнейших математиков XVIII века Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire («мнимый») для обозначения (мнимой единицы), т.е. i = , этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу (1831 г).

В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимостей, возможности дать им геометрическое истолкование. Постепенно развивалась техника операций над комплексными числами. На рубеже XVII – XVIII веков была построена общая теория корней n-й степени сначала из отрицательных, а впоследствии и из любых комплексных чисел.

В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью комплексных чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянным коэффициентом. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде.

Я. Бернулли применил комплексные числа для вычисления интегралов. Хотя в течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. Поэтому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, получаемые с помощью мнимых чисел, - только наведение, приобретающие характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами. В конце XVIII – начале XIX веков было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин Г. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изображать комплексное число z = a + bi точкой М (a, b) на координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой М, а вектором ОМ, идущим в эту точку из начала координат. При таком истолковании сложению и вычитанию комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами.

Геометрические истолкования комплексных чисел позволили определить многие понятия, связанные с функциями комплексного переменного, расширило область их применения. Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости, в теоретической электротехнике.

Большой вклад в развитие теории функций комплексной переменной внесли русские и советские ученые: Р.И. Мусхелишвили занимался ее приложениями к теории упругости, М.В. Келдыш и М.А. Лаврентьев – к аэродинамике и гидродинамике, Н. Н. Боголюбов и В.С. Владимиров – к проблемам квантовой теории поля.

3

ДЕЙСТВИЯ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ

Я рассмотрел решение квадратного уравнения х² + 1 = 0. Отсюда х² = –1. Число х, квадрат которого равен –1, называется мнимой единицей и обозначается i. Таким образом, i² = -1, откуда i =

. Решение квадратного уравнения, например, х² – 8х + 25 = 0, можно записать следующим образом: х =

= 4

= 4 = 4 ± = 4 3 = 4 ± 3i.

Числа вида 4 + 3i и 4 – 3i называют комплексными числами. В общем виде комплексное число записывается a + bi, где a и b – действительные числа, а i – мнимая единица. Число a называется действительной частью комплексного числа (Re, от фр. réele – «реальный», «действительный»), bi – мнимой частью этого числа (Im, от фр. imaginaire – «мнимый»), b – коэффициентом мнимой части комплексного числа.

Комплексные числа равны, если равны их действительные части и коэффициенты мнимых частей: a + bi = c + di, если a = c, b = d. Комплексное число равно нулю тогда, когда его действительная часть и коэффициент мнимой части равны нулю, т.е. z = a + bi = 0, если a = 0, b = 0. Действительные числа являются частным случаем комплексных чисел. Если b = 0, то a + bi = a – действительное число. Если a = 0, b ≠ 0, то a + bi = bi – чисто мнимое число. Также на множестве комплексных чисел теряются понятия "больше" и "меньше", можно лишь по отдельности сравнивать действительные и мнимые части комплексных чисел.

Комплексно-сопряжённые числа.

Сопряжёнными числами называют числа, действительные части которых равны, а мнимые отличаются знаком. Сопряжённое комплексному числу z обозначают z.