Метод Симпсона (стр. 3 из 4)

Тогда

,

Предположим теперь, что

меняется не слишком быстро, так что почти постоянна: . Тогда и , откуда , то есть .

Отсюда можно сделать такой вывод: если

, то есть если , , а - требуемая точность, то шаг подходит для вычисления интеграла с достаточной точностью. Если же , то расчет повторяют с шагом и затем сравнивают и и т.д. Это правило называется правилом Рунге.

Однако при применении правила Рунге необходимо учитывать величину погрешности вычислений: с уменьшением

абсолютная погрешность вычислений интеграла увеличивается (зависимость от обратно пропорциональная) и при достаточно малых может оказаться больше погрешности метода. Если превышает , то для данного шага применять правило Рунге нельзя и желаемая точность не может быть достигнута. В таких случаях необходимо увеличивать значение .

При выводе правила Рунге вы существенно пользовались предположением, что

. Если имеется только таблица значений , то проверку «на постоянство» можно сделать непосредственно по таблице Дальнейшее развитие приведенных алгоритмов позволяет перейти к адаптивным алгоритмам, в которых за счет выбора различного шага интегрирования в разных частях отрезка интегрирования в зависимости от свойств уменьшается количество вычислений подынтегральной функции.

Другая схема уточнения значений интеграла - процесс Эйтнена. Производится вычисление интеграла с шагами

, причем . Вычисление значений . Тогда (14).

За меру точности метода Симпсона принимают величину :

5. Примеры

Пример 1. Вычислить интеграл

по формуле Симпсона, если задана таблицей. Оценить погрешность.

Таблица 3.

	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8
	1	0.995	0.98	0.955	0.921	0.878	0.825	0.765	0.697

Решение: Вычислим по формуле (1) при

и интеграл .

.

По правилу Рунге получаем

Принимаем .

Пример 2. Вычислить интеграл

.

Решение: Имеем

. Отсюда h= =0.1. Результаты вычислений приведены в таблице 4.

Таблица 4.

Вычисление интеграла по формуле Симпсона

i
0	0	y0=1,00000
1	0.1	0,90909
2	0.2	0,83333
3	0.3	0,76923
4	0.4	0,71429
5	0.5	0,66667
6	0.6	0,62500
7	0.7	0,58824
8	0.8	0,55556
9	0,9	0,52632
10	1,0	0,50000=yn
å	3,45955(s1)	2,72818(s2)

По формуле Симпсона получим:

Подсчитаем погрешность полученного результата. Полная погрешность

складывается из погрешностей действий и остаточного члена . Очевидно:

= ;

где

- коэффициенты формулы Симпсона и e- максимальная ошибка округления значений подынтегральной функции.

= .

Оценим остаточный член. Так как

, то . Отсюда max при и, следовательно, £ . Таким образом, предельная полная погрешность есть R= и, значит, ± .