Алгебраические группы матриц (стр. 2 из 9)
Пусть
--- алгебраическая группа, 
, 
--- подмножество и замкнутое подмножество из . Тогда множества
где
, замкнуты. Если тоже замкнуто и 
--- общее поле квазиопределения для , , , то 
, 
, 
квазиопределены над . В частности, если существует хотя бы одно 
с условием 
(соответственно, 
, 
), то можно считать, что 
(см. 7.1.5).Если на множестве
выполняется теоретико-групповое тождество 
, то оно выполняется и на его замыкании 
. В частности, коммутативность, разрешимость, нильпотентность матричной группы сохраняются на ее замыкании в полиномиальной топологии.1.2 О полугруппах
Определим действие элементов из
на рациональные функции из 
, 
, полагая
Для каждого
отображение 
(сдвиг аргумента) есть автоморфизм поля 
. Отображение 
есть изоморфизм полной линейной группы в группу автоморфизмов расширения 
.Имеет место следующее предложение.
1.2.1 Все замкнутые (в полиномиальной топологии) полугруппы из 
являются группами. Более общно: замыкание 
произвольной полугруппы 
--- группа. Более точно: если 
--- аннулятор 
в 
, то совпадает с
Здесь вместо
можно написать 
.Доказательство. Во-первых,
и, значит, 
. Действительно, если 
, 
и 
, то 
, т. е. . Подпространство 
многочленов из 
степени 
отображается оператором 
на себя, так как оно конечномерно, а опрератор обратим. Но тогда и всё 
отображается на себя, как объединение всех 
.Во-вторых,
, т. е. 
для каждого . Действительно, пусть 
. По уже доказанному, 
. Найдём 
с условием 
. Тогда 
.В-третьих,
, т. е. 
для всех , 
. Действительно, 
. Предложение доказано.Таким образом, теория алгебраических полугрупп из
исчерпывается теорией алгебраических групп.Отметим ещё одно полезное предложение.
1.2.2 Пусть алгебраическая группа неприводима, т. е. 
--- многообразие, 
--- густое подмножество, плотное в . Тогда каждый элемент является произведением двух элементов из ; в частности, если 
--- подгруппа, то она совпадает с .
Доказательство. Множества
и 
тоже густые и плотные, поэтому пересечение 
непусто (см. п. 8.2).Если
--- полугруппа из , то 
.1.3 Компоненты алгебраической группы
Пусть
--- алгебраическая группа матриц. Невырожденные части компонент её подлежащего многообразия 
называеются компонентами группы 
. наличие в групповой структуры позволяет высказать о компонентах ряд важных утверждений, отсутствующих в случае произвольного многообразия.1.3.1 Теорема. Пусть 
--- алгебраическая группа матриц. Её компонента 
, содержащая единицу, единственна и является нормальной подгруппой. Остальные компоненты --- смежные классы по 
(в частности, они являются связными компонентами группы в полиномиальной топологии). --- единственная связная замкнутая подгруппа конечного индекса в . Аннулятор 
компоненты связан с аннулятором 
всей группы следующим образом: