В свойствах алгебраических групп и

-групп много общего. Имеется сандартный способ перехода от первых ко вторым --- посредством поля определения (в чём и состоит основное значение этого понятия). Нам не раз представится возможность продемонстрировать этот способ. В целом же

-группы в нашем изложении останутся на заднем плане, лишь иногда выходя на авансцену.
Многие результаты о

-группах по формулировке и доказательству вполне аналогичны результатам об абсолютных алгебраических группах (в

) и опираются на сведения из алгебраической геометрии для

-множеств, (по определению,
алгебраическое
-множество выделяется в

уравнениями с коэффициентами из

).
2 Ранг матрицы
В арифметическом линейном пространстве

столбцов высоты

рассмотрим

векторов

и их линейную оболочку

. Пусть дан еще один вектор

. Спрашивается, принадлежит ли

подпространству

, а если принадлежит, то каким образом его координаты

выражаются через координаты векторов

. В случае

вторая часть вопроса относится к значениям координат вектора

в базисе

. Мы берем линейную комбинацию векторов

с произвольными коэффициентами

и составляем уравнение

. Наглядный вид этого уравнения

есть лишь иная запись системы из

линейных уравнений с

неизвестными:

Первое впечатление таково, что мы вернулись к исходным позициям, потеряв время и ничего не выиграв. На самом же деле мы располагаем теперь рядом важных понятий. Осталось приобрести навыки в обращении с ними.
В этом месте удобно условиться в обозначениях. В дальнейшем для сокращения записи мы часто будем обозначать сумму

значком

. При этом

--- величины произвольной природы (числа, векторы-строки и т. д.), для которых выполнены все законы сложения чисел или векторов. Правила

достаточно понятны, чтобы их нужно было разъяснять. Будут рассматриваться также двойные суммы,

в которых порядок суммирования (по первому и по второму индексу) можно выбирать по своему желанию. Это легко понять, если расположить величины

в прямоугольную матрицу размера

: в нашей воле начинать суммирование элементов матрицы по строкам или по столбцам.
Другие возможные типы суммирования будут разъясняться в нужном месте.
Назовем пространством столбцов прямоугольной матрицы

размера

введенное выше пространство

, которое мы будем обозначать теперь символом

или просто

(в --- вертикальный). Его размерность

назовем рангом по столбцам матрицы

. Аналогично вводится ранг по строкам матрицы

:

, где

--- подпространство в

, натянутое на векторы-строки

,

(г --- горизонтальный). Другими словами,


- ранги систем векторов-столбцов и соответственно векторов-строк. По теореме о существовании конечного базиса у подпространства

величины

и

определены правильно.
Будем говорить, что матрица

получена из

при помощи
элементарного преобразования типа (I), если

для какой-то пары индексов

и

для

. Если же

для всех

и

,

, то говорим, что к

применено
элементарное преобразование типа (II).
Заметим, что элементарные преобразования обоих типов обратимы, т. е. матрица

, получающаяся из

при помощи одного элементарного преобразования, переходит снова в

путем применения одного элементарного преобразования, причем того же типа.