Алгебраические группы матриц (стр. 4 из 9)
В свойствах алгебраических групп и
-групп много общего. Имеется сандартный способ перехода от первых ко вторым --- посредством поля определения (в чём и состоит основное значение этого понятия). Нам не раз представится возможность продемонстрировать этот способ. В целом же 
-группы в нашем изложении останутся на заднем плане, лишь иногда выходя на авансцену.Многие результаты о
-группах по формулировке и доказательству вполне аналогичны результатам об абсолютных алгебраических группах (в 
) и опираются на сведения из алгебраической геометрии для -множеств, (по определению, алгебраическое -множество выделяется в 
уравнениями с коэффициентами из ).2.1 Возвращение к уравнениям
В арифметическом линейном пространстве
столбцов высоты 
рассмотрим 
векторов
и их линейную оболочку
. Пусть дан еще один вектор 
. Спрашивается, принадлежит ли 
подпространству 
, а если принадлежит, то каким образом его координаты 
выражаются через координаты векторов 
. В случае 
вторая часть вопроса относится к значениям координат вектора в базисе 
. Мы берем линейную комбинацию векторов с произвольными коэффициентами 
и составляем уравнение 
. Наглядный вид этого уравнения
есть лишь иная запись системы из
линейных уравнений с неизвестными:
Первое впечатление таково, что мы вернулись к исходным позициям, потеряв время и ничего не выиграв. На самом же деле мы располагаем теперь рядом важных понятий. Осталось приобрести навыки в обращении с ними.
В этом месте удобно условиться в обозначениях. В дальнейшем для сокращения записи мы часто будем обозначать сумму
значком 
. При этом 
--- величины произвольной природы (числа, векторы-строки и т. д.), для которых выполнены все законы сложения чисел или векторов. Правила
достаточно понятны, чтобы их нужно было разъяснять. Будут рассматриваться также двойные суммы,
в которых порядок суммирования (по первому и по второму индексу) можно выбирать по своему желанию. Это легко понять, если расположить величины
в прямоугольную матрицу размера 
: в нашей воле начинать суммирование элементов матрицы по строкам или по столбцам.Другие возможные типы суммирования будут разъясняться в нужном месте.
2.2 Ранг матрицы
Назовем пространством столбцов прямоугольной матрицы
размера 
введенное выше пространство 
, которое мы будем обозначать теперь символом 
или просто 
(в --- вертикальный). Его размерность 
назовем рангом по столбцам матрицы 
. Аналогично вводится ранг по строкам матрицы : 
, где 
--- подпространство в 
, натянутое на векторы-строки 
, 
(г --- горизонтальный). Другими словами,
- ранги систем векторов-столбцов и соответственно векторов-строк. По теореме о существовании конечного базиса у подпространства
величины 
и 
определены правильно.Будем говорить, что матрица
получена из при помощи элементарного преобразования типа (I), если 
для какой-то пары индексов 
и 
для 
. Если же 
для всех 
и 
, 
, то говорим, что к применено элементарное преобразование типа (II).Заметим, что элементарные преобразования обоих типов обратимы, т. е. матрица
, получающаяся из при помощи одного элементарного преобразования, переходит снова в путем применения одного элементарного преобразования, причем того же типа.