Алгебраические группы матриц (стр. 5 из 9)

2.2.1 Лемма. Если матрица

получена из прямоугольной матрицы

путем применения конечной последовательности элементарных преобразований, то имеют место равенства:

(i)

(ii)

Доказательство. Достаточно рассмотреть тот случай, когда

получена из путем применения одного элементарного преобразования (сокращенно э. п.).

(i) Так как, очевидно,

, то э. п. типа (I) не меняет . Далее, и, следовательно, , так что не меняется и при э. п. типа (II).

(ii) Пусть

--- столбцы матрицы . Нам нужно доказать, что

Тогда всякой, в том числе и максимальной, независимой системе столбцов одной матрицы будет отвечать независимая система столбцов с теми же номерами другой матрицы, чем и устанавливается равенство

. Заметим еще, что в силу обратимости элементарных преобразований достаточно доказать импликацию в одну сторону. Пусть, например, . Тогда, заменяя в (1) на и все на 0, мы видим, что --- решение однородной системы ОС, ассоциированной с линейной системой (2). По соответствующей теореме это решение будет также решением однородной системы , получающейся из ОС при помощи э. п. типа (I) или (II) и имеющей своей матрицей как раз матрицу . Так как система кратко записывается в виде , то мы приходим к соотношению

Основным результатом этого параграфа является следующее утверждение:

2.2.2 Теорема. Для любой прямоугольной

-матрицы

справедливо равенство

(это число называется просто рангом матрицы

и обозначается символом

).

Доказательство. Т. к. конечным числом элементарных преобразований, совершаемых над строками

, матрицу можно привести к ступенчатому виду:

с

. Согласно лемме так что нам достаточно доказать равенство .

Столбцы матриц

и с номерами , отвечающими главным неизвестным линейной системы (2), будем называть базисными столбцами. Эта терминология вполне оправдана. Предположив наличие соотношения

связывающего векторы-столбцы

, , матрицы (3), получим последовательно: , , , , , а так как , то . Значит, и . Но пространство , порожденное столбцами матрицы , отождествляется с пространством столбцов матрицы, которая получается из удалением последних нулевых строк. Поэтому . Сопоставление двух неравенств показывает, что (неравенство вытекает также из того очевидного соображения, что все столбцы матрицы являются линейными комбинациями базисных; проделайте это самостоятельно в качестве упражнения).

С другой стороны, все ненулевые строки матрицы

линейно независимы: любое гипотетическое соотношение

как и в случае со столбцами, дает последовательно

, , , . Откуда . Стало быть,

2.3 Критерий совместности

Ступенчатый вид матрицы

, дающий ответ на ряд вопросов относительно линейных систем, содержит элементы произвола, связанные, например, с выбором базисных столбцов или, что эквивалентно, с выбором главных неизвестных системы (2). В то же время из теоремы 1 и из ее доказательства извлекается

Следствие. Число главных неизвестных, линейной системы (2) не зависит от способа приведения ее к ступенчатому виду и равно

, где

--- матрица системы.

Действительно, мы видели, что число главных неизвестных равно числу ненулевых строк матрицы

(см. (3)), совпадающему, как мы видели, с рангом матрицы . Ранг определялся нами совершенно инвариантным образом. Этими словами выражается тот факт, что ранг матрицы служит ее внутренней характеристикой, не зависящей от каких-либо привходящих обстоятельств.