Алгебраические группы матриц (стр. 9 из 9)

Если матрица, обратная к

, существует, то, согласно вышесказанному, она единственна. Ее принято обозначать символом . В таком случае (см. ( ))

Квадратную матрицу

, для которой существует обратная матрица , называют невырожденной (или неособенной). Невырожденным называют и соответствующее линейное преобразование . В противном случае матрицу и линейное преобразование называют вырожденными (или особенными).

Резюмируем полученные нами результаты.

3.3.2 Теорема. Квадратная матрица

порядка

является невырожденной тогда и только тогда, когда ее ранг равен

. Преобразование

, обратное к

, линейно и задается равенством (14).

Следствие. Невырожденность

влечет невырожденность

и

. Если

--- невырожденные

--- матрицы, то произведение

также невырождено и

.

Для доказательства достаточно сослаться на симметричность условия

.

Нами получено довольно много правил действий с квадратными матрицами порядка

. Имеются в виду, ассоциативность (следствие теоремы 2), (10) и теорема 4. Обратим еще внимание на так называемые законы дистрибутивности:

где

, , --- произвольные матрицы из .

Действительно, полагая

, мы получим для любых равенство (используется дистрибутивность в ):

левая часть которого дает элемент

матрицы , а правая --- элементы и матриц и соответственно . Второй закон дистрибутивности (16) проверяется совершенно аналогично. Необходимость в нем обусловлена некоммутативностью умножения в . Законы дистрибутивности

для линейных отображений

, , из в можно не доказывать, ссылаясь на соответствие между отображениями и матрицами, но можно, в свою очередь, выводить (16) из ( ), поскольку в случае отображений, рассуждение столь же просто.

Заключение

Таким образом, в данной курсовой работе мы доказали, что связанная компонента единицы алгебраической группы содержится в любой замкнутой подгруппе конечного индекса. В работе была доказана теорема: Для любой прямоугольной

-матрицы

справедливо равенство

(это число называется просто рангом матрицы

и обозначается символом

).А также было получено эффективное средство для вычисления ранга матрицы

, устраняющее необходимость приведения к ступенчатому виду, доказана теорема: Квадратная матрица

порядка

является невырожденной тогда и только тогда, когда ее ранг равен

. Преобразование

, обратное к

, линейно и задается равенством (14) и следствие этой теоремы: невырожденность

влечет невырожденность

и

. Если

--- невырожденные

--- матрицы, то произведение

также невырождено и

.

Список использованных источников

1. Шеметков Л.А., Скиба А.Н., Формации алгебраических систем. - М.: Наука, 1989. - 256с.

2. Русаков С.А., Алгебраические

-арные системы. Минск, 1987. - 120с.

3. Кон П., Универсальная алгебра. М.:Мир, 1968.--351с.

4. Ходалевич А.Д., Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр// Вопросы алгебры.-1996.-Вып.10 с.144-152

5. Mонaxов В.С. Произведение конечных групп, близких к нильпотентным.- В кн.: Конечные группы. Мн.: Наука и техника, 1975, с. 70 - 100.