Алгебраические группы матриц (стр. 9 из 9)
Если матрица, обратная к
, существует, то, согласно вышесказанному, она единственна. Ее принято обозначать символом 
. В таком случае (см. ( 
))
Квадратную матрицу
, для которой существует обратная матрица 
, называют невырожденной (или неособенной). Невырожденным называют и соответствующее линейное преобразование 
. В противном случае матрицу 
и линейное преобразование называют вырожденными (или особенными).Резюмируем полученные нами результаты.
3.3.2 Теорема. Квадратная матрица
порядка 
является невырожденной тогда и только тогда, когда ее ранг равен . Преобразование 
, обратное к 
, линейно и задается равенством (14). Следствие. Невырожденность
влечет невырожденность 
и 
. Если 
--- невырожденные 
--- матрицы, то произведение 
также невырождено и 
. Для доказательства достаточно сослаться на симметричность условия
. 
Нами получено довольно много правил действий с квадратными матрицами порядка
. Имеются в виду, ассоциативность (следствие теоремы 2), (10) и теорема 4. Обратим еще внимание на так называемые законы дистрибутивности:
где
, 
, 
--- произвольные матрицы из 
.Действительно, полагая
, мы получим для любых 
равенство (используется дистрибутивность в 
):
левая часть которого дает элемент
матрицы 
, а правая --- элементы 
и 
матриц 
и соответственно 
. Второй закон дистрибутивности (16) проверяется совершенно аналогично. Необходимость в нем обусловлена некоммутативностью умножения в 
. Законы дистрибутивности
для линейных отображений
, 
, 
из 
в можно не доказывать, ссылаясь на соответствие между отображениями и матрицами, но можно, в свою очередь, выводить (16) из ( 
), поскольку в случае отображений, рассуждение столь же просто.Таким образом, в данной курсовой работе мы доказали, что связанная компонента единицы алгебраической группы содержится в любой замкнутой подгруппе конечного индекса. В работе была доказана теорема: Для любой прямоугольной
-матрицы справедливо равенство 
(это число называется просто рангом матрицы и обозначается символом 
).А также было получено эффективное средство для вычисления ранга матрицы , устраняющее необходимость приведения к ступенчатому виду, доказана теорема: Квадратная матрица порядка 
является невырожденной тогда и только тогда, когда ее ранг равен 
. Преобразование 
, обратное к 
, линейно и задается равенством (14) и следствие этой теоремы: невырожденность 
влечет невырожденность 
и 
. Если 
--- невырожденные 
--- матрицы, то произведение 
также невырождено и 
.Список использованных источников
1. Шеметков Л.А., Скиба А.Н., Формации алгебраических систем. - М.: Наука, 1989. - 256с.
2. Русаков С.А., Алгебраические
-арные системы. Минск, 1987. - 120с.3. Кон П., Универсальная алгебра. М.:Мир, 1968.--351с.
4. Ходалевич А.Д., Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр// Вопросы алгебры.-1996.-Вып.10 с.144-152
5. Mонaxов В.С. Произведение конечных групп, близких к нильпотентным.- В кн.: Конечные группы. Мн.: Наука и техника, 1975, с. 70 - 100.