Шпора по матану (стр. 2 из 4)
Из рисунка видно, что площадь кругового сектора
, так как х>0, то 
,2. следовательно, что
1. Покажем, что
2. Докажем, что
3. Последнее утверждение:
18. Второй замечательный предел
lim(n®¥)(1+1/n)^n=e Док-во:
x®+¥ n x:n=[x] => n£x<n+1 => 1/(n+1)<1/x<1/n
Посколько при ув-нии основания и степени у показательной ф-ции, ф-ция возрастает, то можно записать новое неравенство (1/(n+1))^n£(1+1/n)^x£ (1+1/n)^(n+1) (4)
Рассмотрим пос-ти стоящие справа и слева. Покажем что их предел число е. Заметим (х®+¥, n®¥)
lim(n®¥)(1+1/(n+1))=lim(n®¥)(1+1/(n+1))^n+1-1= lim(n®¥)(1+1/(n+1))^n+1*lim(n®¥)1/(1+1/(n+1))=e
lim(n®¥)(1+1/n)^n+1= lim(n®¥)(1+1/n)^n* lim(n®¥)(1+1/n)=e*1=e
19.Б-м ф-ии, действия над ними
Опр. Ф-ция a(х) наз-ся б/м если ее предел в этой т-ке равен 0 из этого определения вытекает следующее св-во б/м ф-ций:
а) Алгебраическая сумма и произведение б/м ф-ций есть б/м ф-ции.
б) Произведение б/м ф-ции на ограниченную ф-цию есть б/м ф-ция, т.е. если a(х)®0 при х®х0, а f(x) определена и ограничена ($ С:½j(х)½£С)=> j(х)a(х)®0 при х®х0
Для того чтобы различать б/м по их скорости стремления к 0 вводят сл. понятие:
1) Если отношение 2-х б/м a(х)/b(х)®0 при х®х0 то говорят что б/м a имеет более высокий порядок малости чем b.
2) Если a(х)/b(х)®A¹0 при х®х0 (A-число), то a(х) и b(х) наз-ся б/м одного порядка.
3) если a(х)/b(х)®1 , то a(х) и b(х) наз-ся эквивалентными б/м (a(х)~b(х)), при х®х0.
4) Если a(х)/b^n(х)®А¹0, то a(х) наз-ся б/м n-ного порядка относительно b(х).
Аналогичные определения для случаев: х®х0-, х®х0+, х®-¥, х®+¥ и х®¥.
20. Б-б ф-ии, связь с б-м
Опр. Ф-ия y=f(x) называется бесконечно большой в точке а, если ее предел в этой точке равен бесконечности. (f(x)-б-б)=lim(x->a)(f(x))=∞
Свойства :Пусть y=f(x) и y=g(x) - бесконечно большие ф-ии в точке а.
Ф-ия j(х) имеет предел в точке а, отличный от 0
Ф-ия a(х) и b(ч) – бесконечно малые
Тогда справедливы следующие утверждения:
1. Произведение двух бесконечно больших ф-ий – бесконечно большая ф-ия.
2. Произведение бесконечно больших на ф-ию, имеющую отличный от нуля предел - бесконечно большая.
3. Ф-ия, обратная величине бесконечно большой – есть бесконечно малая, и наоборот.
21.Сравнение б-м ф-ии, сравнение б-б ф-ии
22.Определение непрерывности в точке, на отрезке.
Опр1.Ф-ия у=f(x) н-ся непрерывной в т.Х0, если lim(x->x0)(f(x))=f(x0)
Опр2.Ф-ия f(x) н-ся непрерывной в т Х0, если для любой пос-ти значений аргумента Х: х1,х2,х3….,хn,…. Сходящейся к Х0 соответствующая пос-ть значений ф-ии: f(x1), f(x2),f(x3),....,f(xn),... сходится к числу f(x0), т.е. ("{xn}->x0, xn€X):{f(xn)}->f(x0)
Опр3. Ф-ия f(x) н-ся непрерывной в т. Х0, если для любого ε>0 найдется отвечающее ему положительное число δ такое что для всех х, удовлетворяющих условию |x-x0|< δ выполняется нер-во |f(x)-f(x0)|< ε
Опр4. Ф-ия f(x) н-ся непрерывной в точке х0, если ее приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при ▲x->0, т.е. lim(▲x->0)( ▲y)=0
23.Th о сумме, разн, пр, частн непрер ф-ии
Th Пусть ф-ии f(x) и g(x) непрерывны в точке х0. Тогда ф-ии f(x)±g(x), f(x)g(x),f(x)\g(x) также непрерывны в этой точке(для частно g(x0)≠0)
Докво.Т.к. ф-ия f(x) непрерывна в точке х0, то lim(x->x0)(g(x))=g(x0). Тогда по теореме о пределах ф-ии пределы ф-ии f(x)+g(x),f(x)g(x) b f(x)\g(x) существуют и соответственно равны f(x0)±g(x0),f(x0)g(x0),f(x0)\g(x0)(g(x0)≠0).Но эти величины равны соответствующим значениям ф-ии в точке х0.Следовательно, согласно определению ф-ии f(x)±g(x),f(x)g(x),f(x)\g(x) непрерывны в точке х0
24.Точки разрыва ф-ии: (не) устранимый разрыв,1,2 рода
Точки, в которых ф-ия не является непрерывной, называются точками разрыва ф-ии.
Все т-ки р-рыва делятся на 3 вида: т. устранимого р-рыва; точки р-рыва 1-го , и 2-го рода.
а) если в т-ке х0 $ оба односторонних предела, которые совпадают между собой f(x0+)= f(x0-), но ¹ f(x0), то такая т-ка наз-ся точкой устранимого р-рыва.
Если х0 т-ка устранимого р-рыва, то можно перераспределить ф-цию f так чтобы она стала непр. в т-ке х0. Если по ф-ции f построить новую ф-цию положив для нее знач. f(x0)= f(x0-)=f(x0+) и сохранить знач. в др. т-ках, то получим исправл. f.
б) если в т-ке х0 $ оба 1-стороних предела f(x0±), которые не равны между собой f(x0+)¹f(x0-), то х0 наз-ся т-кой р-рыва первого рода.
в) если в т-ке х0 хотя бы 1 из односторонних пределов ф-ции не $ или бесконечен, то х0 наз-ся т-кой р-рыва 2-го рода.
25.Th об устойчивости знака непрерывной ф-ии
26.1 Th Больцано-Коши (th о прохождении ф-ии через нулевое значение при смене знаков)
Если f(x) непр. на отрезке (a,b) и принимает на концах этого отрезка значение разных знаков f(a) f(b), то $ т-ка сÎ(a,b),в которой ф-ия обращается в0.
Док-во Одновременно содержит способ нах-ния корня ур-ния f(x0)=0 методом деления отрезка пополам. f(d)=0 c=d Т-ма доказана.
Пусть f(d)¹0 [a,d] или [d,b] ф-ция f принимает значение разных знаков. Пусть для определ-ти [a,d] обозначим через [a1,b1]. Разделим этот отрезок на 2 и проведем рассуждение первого шага док-ва в итоге или найдем искомую т-ку d или перейдем к новому отрезку [a2,d2] продолжая этот процесс мы получим посл-ть вложения отрезков [a1,b1]>[a2,b2] длинна которых (a-b)/2^n®0, а по т-ме о вл-ных отрезков эти отрезки стягиваются к т-ке с. Т-ка с явл. искомой с:f(c)=0. Действительно если допустить, что f(c)¹0 то по св-ву сохр. знаков в некоторой d окрестности, т-ке с f имеет тот же знак что и значение f(c) между тем отрезки [an,bn] с достаточно N попабают в эту окрестность и по построению f имеет разный знак на концах этих отрезков.
27.2 Th Больцано-Коши(Th о прохождении непрерывной ф-ии через любое промежуточное значение)
28.1 Th Вейерштрасса(Th об ограниченности непрерывной на сегменте ф-ии)
Т-ма 1(о огран. непр. ф-ции на отрезке). Если f(x) непр. на [a,b], тогда f(x) огран. на этом отрезке, т.е. $ с>0:½f(x)½£c "xÎ(a,b).
Док-во т-мы 1. Используем метод деления отрезка пополам. Начинаем от противного; f неогр. на [a,b], разделим его, т.е. тогда отрезки [a;c][c;b] f(x) неогр.
Обозн. [a1,b1] и педелим отрез. [a2,b2], где f-неогр. Продолжая процедуру деления неогр. получаем послед. влож. отрезки [an;bn] котор. оттяг. к т-ке d (d=c с надстройкой) из отрезка [a,b], общее для всех отр. Тогда с одной стороны f(x) неогр. в окр-ти т-ки d на конц. отрезка [an,bn], но с др. стороны f непр. на [a,b] и => в т-ке d и по св-ву она непр. в некоторой окрестности d. Оно огран. в d => получаем против. Поскольку в любой окр-ти т-ки d нах-ся все отрезки [an;bn] с достаточно большим 0.
Теорема ВЕЙЕРШТРАССА. Эти теремы неверны если замкнутые отрезки заменить на др. пр-ки
29. 2 Th Вейерштрасса(Th о достижении непрерывной на отрезке ф-ии своих точных граней)
Если f(x) непр. на [a,b], тогда она достигает своего экстр. на этом отрезке, т.е. $ т-ка max X*:f(x*)³f(x) "xÎ[a,b], т-ка min X_:f(x_)£f(x) "xÎ[a,b].
Док-во.Обозначим E(f) – множиством значений ф-ии f(x) на отр. [a,b] по предыд. т-ме это мн-во огран. и сл-но имеет конечные точные грани supE(f)=supf(x)=(при хÎ[a,b])=M(<¥). InfE(f)= inff(x)=m(m>-¥). Для опр. докажем [a,b] f(x) достигает макс. на [a,b], т.е. $ х*:f(x)=M. Допустим противное, такой т-ки не $ и сл-но f(x)<M "xÎ[a,b] рассмотрим вспомогат. ф-цию g(x)=1/(M-f(x) при хÎ[a,b]. g(x) – непр. как отношение 2-х непр. ф-ций и то знач. 0 согластно т-ме 1 g(x)- огран. т.е. $ c>0
!0<g(x)£c g³0, на [a,b] – 1/(M-f(x))£c => 1£c(M-f(x)) => f(x) £M-1/c "xÎ[a,b]
Однако это нер-во противор., т.к. М-точная верхн. грань f на [a,b] а в правой части стоит “C”
Теорема ВЕЙЕРШТРАССА. Эти теремы неверны если замкнутые отрезки заменить на др. пр-ки
30.Th о непрерывности сложной ф-ии
31.Th о непрерывности обратной ф-ии(без док-ва, примеры)
Пусть ф-ия y=f(x) определена, строго монотонна и непрерывна на некотором промежутке Х и пусть У-множество ее значений. Тогда на множестве У обратная ф-ии x=φ(y) одназначна, строго монотонна и непрерывна.
32.Понятие производной
Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки x0. Пусть ▲x – приращение
аргумента в точке x0, а ▲y=f(x0+▲x)-f(x0)– соответствующее приращение функции. Составим
отношение ▲y/(поделить)▲x этих приращений и рассмотрим его предел при▲x->0. Если указанный
предел существует, то он называется производной функции f в точке x0 и обозначается
, 
или
, то есть 
.Операция вычисления производной называется дифференцированием, а функция, имеющая
производную в точке, – дифференцируемой в этой точке. Если функция имеет производную в