Метризуемость топологических пространств (стр. 4 из 8)

Так как

и множество замкнуто по условию, то для любого по лемме .

Обозначим

и для произвольных и .

Множества

и открыты как объединения открытых шаров в и содержат соответственно множества и .

Следовательно,

- окрестность множества , - окрестность множества .

Докажем, что

.

Предположим, что

, то есть . Тогда из условия следует, что для некоторого . Отсюда .

Аналогично получаем

для некоторого . Для определенности пусть . Тогда .

Получаем

, для некоторой точки , что невозможно в силу определения расстояния от точки до множества.

Следовательно

. Таким образом, является -пространством, а, значит, нормальным пространством. Теорема доказана.

Свойство 3. В метризуемом пространстве

выполняется первая аксиома счетности.

Доказательство. Пусть

- произвольное открытое множество, содержащее точку . Так как открытые шары образуют базу топологии метрического пространства, то содержится в вместе с некоторым открытым шаром, то есть для некоторых и . По утверждению 1 найдется такое , что .

Возьмем

, для которого . Тогда . Таким образом открытые шары , образуют определяющую систему окрестностей точки . Очевидно, что множество этих окрестностей счетно. Что и требовалось доказать.

Определение. Множеством типа

или просто - множеством пространства называется всякое множество , являющееся объединением счетного числа замкнутых (в ) множеств.

Определение. Множеством типа

или просто

- множеством пространства

называется всякое множество , являющееся пересечением счетного числа открытых (в ) множеств.

Очевидно, что множества типа

и

являются взаимно дополнительными друг для друга.

Определение. Нормальное пространство, в котором всякое замкнутое множество является множеством типа

, называется совершенно нормальным.

Утверждение 3. Нормальное пространство является совершенно нормальным тогда и только тогда, когда всякое открытое множество, принадлежащее этому пространству, является множеством типа

.

Свойство 4. Метризуемое пространство совершенно нормально.

Доказательство. Пусть

- непустое замкнутое множество в . Тогда для непрерывной функции (непрерывность ее установлена в утверждении 2). Обозначим , множества открыты в как прообразы открытых множеств при непрерывном отображении. Докажем, что .

Пусть

, тогда . Так как для любого , то для любого . Отсюда .

Обратно. Пусть

, тогда для любого . Отсюда для любого , поэтому для любого , тогда , значит . Таким образом множество является множеством типа

.