Метризуемость топологических пространств (стр. 7 из 8)

.

Для

положим и для .

Для каждой точки

. Рассмотрим полученные суммы. Так как , где , то . Так как для любых , то . Тогда , т.е. . Таким образом . Следовательно, множество открыто в тихоновской топологии произведения.

2) Пусть множество

открыто в топологии произведения. Докажем, что оно открыто в топологии, порожденной метрикой .

Требуется доказать, что для любой точки

найдется такое , что .

Так как множество

открыто в топологии произведении, то для некоторого множества , где - открыто в и для любого и для всех индексов кроме конечного их числа. Поскольку и открыто в , то для конечного числа индексов, для которых . Пусть - наименьший из этих значений . Докажем, что . Возьмем произвольное . Тогда . Отсюда для любого . Это означает, что для любого . Получили . Следовательно, множество открыто в топологии, индуцируемой метрикой . Теорема доказана.

Глава III. Примеры метризуемых и неметризуемых пространств

1. Дискретное топологическое пространство.

- произвольное непустое множество. Открытым назовем любое подмножество в . Очевидно, при этом выполнены все аксиомы топологического пространства. Рассмотрим Для любого множество открыто, так как . Следовательно, открыто и любое подмножество в как объединение одноэлементных множеств. Вывод: дискретное топологическое пространство – метризуемо.

2. Двоеточия.

. Рассмотрим топологии на .

1)

- простое двоеточие.

2)

- связное двоеточие.

3)

- слипшееся двоеточие.

- метризуемо, так как топология - дискретная.

, - неметризуемы, так как не являются хаусдорфовыми.

3. Стрелка (

).

В

открытыми назовем и множества вида , где . Очевидно, при этом выполнены все аксиомы топологического пространства. Топологическое пространство не является хаусдорфовым, а значит неметризуемо.

4. Окружности Александрова (пространство

).

Открытые множества в

:

первого рода: интервал на малой окружности

плюс его проекция на большую окружность , из которой выброшено конечное число точек.

второго рода: каждая точка на большой окружности открыта.

1. Множество

замкнуто в

тогда и только тогда, когда

- конечно.

Доказательство. Очевидно, что любое конечное множество

замкнуто как дополнение открытого. Пусть

и - бесконечно. Докажем, что - незамкнуто.

Так как

- бесконечно, то оно содержит счетное подмножество, которое можно рассмотреть как последовательность точек, принадлежащих . Эта последовательность ограничена в , по теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Так как замкнуто в , то предел этой последовательности . Пусть - точка, для которой является проекцией на . Возьмем произвольное открытое в

множество , содержащее точку . Тогда исходя из структуры открытых множеств первого рода получаем, что содержит бесконечно много точек множества , т.е. является предельной точкой множества . При этом . Следовательно, - незамкнуто.