Методы оптимизации (стр. 1 из 11)
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Кафедра математического анализа
Дипломная работа по математике
студентка 5 курса математического факультета
специальность 032100.01 – «Математика» с дополнительной
специальностью «Информатика»
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
Научный руководитель: доцент, кандидат технических наук
Допущена к защите.
Зав. кафедрой математического анализа _________________________
«___» _______ 2010 г., протокол №__
Защищена «____» июня 2010 г.
Оценка __________________________
СОДЕРЖАНИЕ
| Стр. | |
| Введение……………………………………………………………………… | 3 |
| Глава I. Задача отыскания экстремума функций многих переменных…............................................................................................ | 5 |
| §1. Функция многих переменных…………………………………………. | 5 |
| 1.1 Необходимые условия экстремума……………………………. | 6 |
| 1.2 Необходимые условия второго порядка. Достаточные условия………………………………………………………………. | 8 |
| §2. Относительный экстремум. Метод множителей Лагранжа………… | 11 |
| 2.1 Метод исключения……………………………………………… | 11 |
| 2.2 Метод множителей Лагранжа…………………………………. | 12 |
| 2.3 Седловая точка функции Лагранжа…………………………….. | 15 |
| Глава II. Численные методы отыскания безусловного экстремума……. | 19 |
| §1. Методы первого порядка (градиентные методы)…………………….. | 19 |
| 1.1 Метод градиентного спуска с постоянным шагом…………… | 19 |
| 1.2 Метод наискорейшего градиентного спуска…………………. | 25 |
| 1.3 Метод покоординатного спуска………………………………. | 29 |
| §2. Методы второго порядка……………………………………………… | 36 |
| 2.1 Метод Ньютона…………………………………………………. | 36 |
| 2.2 Метод Ньютона-Рафсона………………………………………. | 41 |
| Заключение…………………………………………………………………… | 46 |
| Литература……………………………………………………………………. | 47 |
Введение
В настоящее время оптимизация находит применение в науке, технике и в любой другой области человеческой деятельности.
Оптимизация- целенаправленная деятельность, заключающаяся в получении наилучших результатов при соответствующих условиях.
Поиски оптимальных решений привели к созданию специальных математических методов и уже в 18 веке были заложены математические основы оптимизации (вариационное исчисление, численные методы и др). Однако до второй половины 20 века методы оптимизации во многих областях науки и техники применялись очень редко, поскольку практическое использование математических методов оптимизации требовало огромной вычислительной работы, которую без ЭВМ реализовать было крайне трудно, а в ряде случаев - невозможно.
Оптимизация как раздел математики существует достаточно давно. Оптимизация - это выбор, т.е. то, чем постоянно приходится заниматься в повседневной жизни. Термином "оптимизация" в литературе обозначают процесс или последовательность операций, позволяющих получить уточненное решение. Хотя конечной целью оптимизации является отыскание наилучшего или "оптимального" решения, обычно приходится довольствоваться улучшением известных решений, а не доведением их до совершенства. По этому под оптимизацией понимают скорее стремление к совершенству, которое, возможно, и не будет достигнуто.
На первоначальном этапе решения принимались без специального математического анализа, просто на основе опыта и здравого смысла.
Практика порождает все новые и новые задачи оптимизации причем их сложность растет. Требуются новые математические модели и методы, которые учитывают наличие многих критериев, проводят глобальный поиск оптимума. Другими словами, жизнь заставляет развивать математический аппарат оптимизации.
Из всего выше сказанного можно сделать вывод об актуальности темы дипломной работы.
Объект исследования: методы оптимизации как раздел математики.
Предмет исследования: методы оптимизации первого порядка (градиентные методы) и второго порядка: методы Ньютона и Ньютона- Рафсона.
Цель работы: изучить вопросы отыскания экстремума функции нескольких переменных, а также рассмотреть алгоритмы численных методов отыскания безусловного экстремума.
Задачи, решаемые в работе:
1. Изучить теорию нахождения безусловного и условного экстремумов функции нескольких переменных;
2. Рассмотреть задачи минимизации функции нескольких переменных;
3. Изучить численные методы решения задач поиска безусловного минимума функции.
В первой главе сделан анализ теоретического материала, посвященного пониманию природы задач оптимизации — выведены необходимые и достаточные условия, которым должна удовлетворять функция в экстремальных точках. Рассмотрен метод множителей Лагранжа.
Во второй главе изложены численные методы отыскания безусловного экстремума, рассмотрены алгоритмы и примеры градиентных методов оптимизации: градиентного спуска с постоянным шагом, наискорейшего градиентного спуска, покоординатного спуска. Также рассмотрены методы второго порядка: метод Ньютона и метод Ньютона-Рафсона.
Глава I. ЗАДАЧА ОТЫСКАНИЯ ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИИ
МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Функция многих переменных
Одной из важных задач анализа является задача отыскания экстремума (наибольшего или наименьшего значения) скалярной функции f (х) n-мерного векторного аргумента х при некоторых ограничениях. Эту задачу мы будем записывать следующим образом:
minf(x), (1)
(2)
Здесь X — некоторое подмножество n-мерного евклидова пространства Еп. Будем называть X допустимым множеством задачи (1)—(2), а точки, принадлежащие X, — ее допустимыми точками. Заметим, что задачу максимизации функции f (х) тоже можно записать в виде (1)-(2), заменив f (х) на 
.
В этой главе будут последовательно рассмотрены задача нахождения безусловного экстремума функции нескольких переменных (Х=Еп) и задача на относительный экстремум, т. е. задача минимизации функции нескольких переменных при наличии ограничений типа равенств, когда X- множество решений уравнения
g(x)=0,
где g(x) есть m-мерная вектор-функция, т<п.
Задача (1) - (2) является классической и рассматривается во всех курсах анализа. Теория решения таких задач развивалась еще в трудах Эйлера, Лагранжа, Бернулли, Лейбница. Она не потеряла своего значения и в настоящее время, несмотря на то, что с тех пор разработаны более общие методы, включающие классические, как частый случай. Классическая теория содержит значительную часть идей, лежащих в основе современных методов оптимизации.
1.1 Необходимое условие экстремума. Рассмотрим задачу безусловной минимизации, будем теперь считать, что f(х) — скалярная функция векторного аргумента размерности п, т. е. X=En. Если
- точка ее безусловного локального экстремума, в jбудет достигаться экстремум функции 
одной переменной xj, которая получается из функции f(x), если зафиксировать все переменные, кроме xj, положив хi =
iдля 
. Для функции же одной переменной 
получена теорема 1.
Теорема 1. Для того чтобы функция f(x), определенная на вещественной оси, имела безусловный локальный экстремум в точке
, необходимо, чтобы выполнялось условие 
. (3)Проведя это рассуждение для всех j= 1, ..., п, приходим к следующей теореме.
Теорема 2. Для того чтобы в точке
функция f(x1, ..., хп) имела безусловный локальный экстремум, необходимо, чтобы все ее частные производные обращались в в нуль: 
i=1, 2, …n. .(4)Условие стационарности (4) мы будем записывать еще в одной из следующих эквивалентных форм:
grad
где
— n-мерный вектор с компонентами 
, i=l, ..., п, который принято называть градиентомфункции f (х) в точке .