Квадратичные формы (стр. 2 из 3)

Проверим. Для этого подставим матрицу A в матричное представление квадратичной формы k(x)=xT·A·x:

Матрица квадратичной формы вычислена, верно.

Пусть k(x) = 3x₁₂ − 2x₂x₁+ 3x₂₂ — квадратичная форма в пространстве R₂. Пусть e₁= (1, 0), e₂= (0, 1) — базис в R2. Вычислим матрицу A квадратичной формы. Поскольку симметричная билинейная форма φ(x, y) = φ(x₁, x₂, y₁, y₂) = 3x₁ y₁ − x₂ y₁− x₁y₂ + 3x₂y₂ — полярная для квадратичной формы k(x) = 3x₁₂ − 2x₂x₁+ 3x₂₂, k(x) = φ(x, x ) то матрица A квадратичной формы совпадает с матрицей Φ билинейной формы φ(x, y):

Проверим. Для этого подставим матрицу A в матричное представление квадратичной формы k(x)=x^T·A·x:

Матрица квадратичной формы вычислена, верно.

1.2. Преобразование квадратичной формы при линейном однородном преобразовании переменных.

Рассмотрим квадратичную форму (1.1). Перейдем к новым переменным y₁, y₂….y_n по формулам

(1.5)

или в матричном виде X=BY (1.6), где

(1.7). В квадратичной форме (1.1) вместо (x₁,x₂…,x_n) подставим их выражения через y₁, y₂….y_n определяемые формулами (1.5), получим квадратичную форму φ (y₁, y₂….y_n) п переменных с некоторой матрицей С. В этом случае говорят, что квадратичная форма f(x_1,x_2,…x_n) переводится в квадратичную форму φ (y₁, y₂….y_n) линейным однородным преобразованием (1.5). Линейное однородное преобразование (1.6) называется невырожденным, если det B≠0.

Две квадратичные формы называются конгруэнтными, если существует невырожденное линейное однородное преобразование, переводящее одну форму в другую. Если f (x₁,x₂…,x_n) и φ (y₁, y₂….y_n) конгруэнтны, то будем писать f (x₁,x₂…,x_n) ~ φ (y₁, y₂….y_n). Свойства конгруэнтности квадратичных форм:

1. f (x₁,x₂…,x_n) ~ φ (y₁, y₂….y_n).

2. Если f (x₁,x₂…,x_n) ~ φ (y₁, y₂….y_n), φ (y₁, y₂….y_n)~ψ(z₁, z₂…z_n)

Теорема 1. Квадратичная форма f (x₁,x₂…,x_n) с матрицей А линейным однородным преобразованием Х = ВУ переводится в квадратичную форму φ (y₁, y₂….y_n) с матрицей С=В^T АВ.

Следствие 1. Определители матриц конгруэнтных невырожденных действительных квадратичных форм имеют одинаковые знаки.

Следствие 2. Конгруэнтные квадратичные формы имеют одинаковые ранги.

1.3. Приведение действительной квадратичной формы к нормальному виду.

Квадратичная форма f (x₁,x₂…,x_n) называется канонической, если она не содержит произведений различных переменных, т. е.

(1.8). Каноническая квадратная форма называется нормальной (или имеет нормальный вид), если | a_n | = 1 ( i= 1, 2, . . . , r), т. е. отличные от нуля коэффициенты при квадратах переменных равны +1 или —1.

Например, квадратичная форма f (x₁,x₂…,x_n) = 6x²₁+4x²₃ – 3x²₄, для которой a₁₁ =6, a₂₂=0, a₃₃ = 4, a₄₄= -3, имеет канонический вид; квадратная форма f (x₁, x_2, x_3, x₄) = x²₁ - - x²₃ + x²₄является нормальной, так как a₁₁ =1, a₂₂=0, a₃₃ = - 1, a₄₄= 1.

Теорема 2. Любая квадратичная форма некоторым невырожденным линейным преобразованием может быть приведена к каноническому виду

, где y₁, y₂….y_n – новые переменные.

Некоторые из коэффициентов b_ij могут оказаться равными нулю; число отличных от нуля коэффициентов в этой формуле равно рангу r матрицы квадратичной формы φ. Теорема 3. Любую действительную квадратичную форму линейным невырожденным преобразованием можно привести к нормальному виду

Число входящих сюда квадратов равно рангу формы.

Пример 1. Привести к каноническому виду квадратичную форму Ф(х₁, х₂) = 27

. Коэффициенты: а₁₁ = 27, а₁₂ = 5, а₂₂ = 3.

Составим характеристическое уравнение:

;

(27 - l)(3 - l) – 25 = 0

l² - 30l + 56 = 0

l₁ = 2; l₂ = 28;

Пример 2. Привести к каноническому виду уравнение второго порядка: 17x² + 12xy + 8y² – 20 = 0. Коэффициенты а₁₁ = 17, а₁₂ = 6, а₂₂ = 8. А =

. Составим характеристическое уравнение:

(17 - l)(8 - l) - 36 = 0

136 - 8l - 17l + l² – 36 = 0

l² - 25l + 100 = 0 l₁ = 5, l₂ = 20.

Итого:

- каноническое уравнение эллипса.

Пример 3. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график.

Решение: Составим характеристическое уравнение квадратичной формы

:при

Решив это уравнение, получим l₁ = 1, l₂ = 11.

Найдем координаты собственных векторов:

полагая m₁ = 1, получим n₁ =

полагая m₂ = 1, получим n₂ =

Собственные векторы:

Находим координаты единичных векторов нового базиса.

Имеем следующее уравнение линии в новой системе координат:

Каноническое уравнение линии в новой системе координат будет иметь вид:

1.4. Закон инерции квадратичных форм.

Закон инерции квадратичных форм выражает:

Теорема 4. Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится данная действительная квадратичная форма невырожденным действительным линейным преобразованием, не зависит от выбора преобразования.

Число положительных квадратов в нормальной форме, к которой приводится данная действительная квадратичная форма, называют положительным индексом инерции этой формы, число отрицательных квадратов - отрицательным индексом инерции, разность между положительным и отрицательным индексами инерции - сигнатурой формы f. Если известен ранг формы, то задание любого из трех указанных выше чисел определяет два других.

Теорема 5. Две действительные квадратичные формы от n переменных тогда и только тогда конгруэнтны, когда они имеют одинаковые ранги и одинаковые сигнатуры.

Пусть k(x) = 3x12 − 2x2x1+ 3x22— квадратичная форма в пространствеR2. И пусть e1= (1, 0), e2= (0, 1) — базис в R2. Марица A квадратичной формы в этом базисе имеет вид:

Найдём канонический базис квадратичной формы — собственный базис матрицы A и приведём её к диагональному виду:

Имеем: E1, E2 — канонический базис квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы в этом базисе k(y) = 4y12 + 2y22. Числа 4, 2 — канонические коэффициенты квадратичной формы. Положительный индекс инерции квадратичной формы равен 2. Отрицательный индекс инерции квадратичной формы равен 0. Сигнатура квадратичной формы равна 2 − 0 = 2. Ранг квадратичной формы равен 2.

1.5. Знакоопределенные квадратичные формы.

Действительная квадратичная форма f (x₁,x₂…,x_n) называется положительно-определенной, если она приводится к нормальному виду, состоящему из п положительных квадратов: f (x₁,x₂…,x_n) ~ φ (y₁, y₂….y_n), где

(1.9) , т. е. если ранг и положительный индекс инерции равны числу неизвестных.

Систему значений x₁,x₂…,x_n назовем нулевой, если x₁= х₂ = ... = x_n =0, и ненулевой, если хотя бы одно из них отлично от нуля.