Квадратичные формы (стр. 3 из 3)
Теорема 6. Действительная квадратичная форма f (x1,x2…,xn) является положительно-определенной тогда и только тогда, когда она принимает положительные значения при любой ненулевой системе значений переменных x1, x2…,xn. Пусть дана квадратичная форма f (x1,x2…,xn) с матрицей А = (ау). Главными минорами квадратичной формы f называются миноры
, т. е. миноры порядка 1, 2, ... , п матрицы А, расположенные в левом верхнем углу; последний из них совпадает с определителем матрицы.Теорема 7. Квадратичная форма f (x1,x2…,xn) с действительной
матрицей является положительно-определенной тогда и только тогда, когда все ее главные миноры положительны.
Действительная квадратичная форма называется отрицательно-определенной, если она является невырожденной и приводится к нормальному виду, содержащему только отрицательные квадраты всех переменных; эту форму можно привести к виду:
φ (y1, y2….yn)= -y21 – y22 -…- y2n (1.10).
Теорема 8. Квадратичная форма является отрицательно-определенной тогда и только тогда, когда ее главные миноры четного порядка положительны, а нечетного - отрицательны.
Положительно-определенные и отрицательно-определенные квадратичные формы называются знакоопределенными квадратичными формами.
Вырожденные квадратичные формы, нормальный вид которых состоит из квадратов одного знака, называются полуопределенными. Неопределенными называются квадратичные формы, нормальный вид которых содержит как положительные, так и отрицательные квадраты переменных.
Пример. Доказать, что квадратичная форма f (x1, x2, x3)
= 6x21+ 5х22 + 7х23 - 4х1х2 + 4х1x3 положительно-определенная.
Запишем матрицу A этой квадратичной формы и определитель матрицы А:
Так как главные миноры матрицы a11=6,
все положительны, то данная квадратичная форма является положительно-определенной.1.6. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием переменных.
Теорема 9. Если существует ортогональное преобразование с матрицей С, приводящее действительную квадратичную форму f (x1,x2…,xn) к каноническому виду:
φ (y1, y2….yn)= λ1y21+λ2y22+λny2n (1.11),
то λ1, λ2,…. λn — характеристические числа матрицы А квадратичной формы f.
Теорема 10. Для любой действительной квадратичной формы существует ортогональное преобразование, приводящее ее к каноническому виду.
Теорема 11. Для любой действительной симметрической матрицы А существует такая ортогональная матрица Т, что Т-1АТ - диагональная матрица.
С помощью матрицы В записываем искомое ортогональное преобразование x1= √3/5 y1 + √2/5 y2, x1= 1/√5(√3y1 + √2y2) или x2= √2/5 y1 + √3/5 y2, x2 = 1/√5 (- √2y1 + √3y2).
Это преобразование приводит данную квадратичную форму к каноническому виду φ (y1, y2) = y21+ 11y22.
1.7. Упрощение уравнений фигур второго порядка на плоскости и в пространстве
Глава 2. Практическая часть.
Задание 1. Привести к каноническому виду уравнение линии в квадратичной форме.
Задание 2. Какую поверхность определяет уравнение 6x2+5y2+7z2– 4xy+4xz=18?
Решение задания № 1.
Составим характеристическое уравнение квадратичной формы 6x2 + 2√5xy + 2y2 – 21=0, при a11=6, a12=√5, a22=2.
= 
= (6 – λ)(2 – λ) -5 = 12 – 6λ – 2λ + λ2 – 5=λ2 - 8λ+ 7.Находим корни этого уравнения, λ1= 7, λ2= 1.
Найдем координаты собственных векторов:
Полагая m1 = 1, получим n1 = 1/√5 
Полагая m2 = 1, получим n2 = - √5Собственные векторы: U1 = (1;1/√5) и u2= (1; - √5), [u1] = √6 и [u2] =
Находим координаты единичных векторов нового базиса,
е1 = (√5/√6; - √1/√6) и е2= (√1/√6; √5/√6).
Имеем следующее уравнение линии в новой системе координат:
(xt)2 +3(yt)2 = 21
Каноническое уравнение линии в новой системе координат будет иметь вид: xt2 / 21 + yt2 / =1.
Ответ: Каноническое уравнение линии в новой системе координат будет иметь вид: xt2 / 21 + yt2 / =1.
Решение задания № 2.
Ответ: уравнение определяет эллипсоид с полуосями, а =√6, b =√3, c = √2.
Список использованной литературы
1) Гусак А. А., Гусак Г. М., Бричникова Е. А. Справочник по высшей математике. – М.:ТетраСистемс, 1999- 640 с.
2) Малугин В. А. Математика для экономистов: Линейная алгебра. Курс лекций. – М.: Эксмо, 2006- 224 с.
3) Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задач. Ч.1. – М.: Высш. Шк., 2003.
4) Крутицкая Н. Ч., Шишкин А. А. Линейная алгебра в вопросах и задачах: Учеб. Пособие для вузов. – М.:Высш. шк.,1985.
5) Виноградов И. М. Элементы высшей математики. (Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление. Основы теории чисел). Учебник для вузов. – М.: Высш. шк., 1999.
6) Щипачев В. С. Высшая математика: Учебник для вузов. – Высш. шк., 2005.
7) В.А.Ильин, Э.Г.Позняк. Линейная алгебра. М.: Наука, 1999.
8) И.В.Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 2000.
9) В.Л.Камынин, Н.В.Шолохов. Элементы теории групп. М.:МИФИ, 1997.