Квадратичные формы 2 (стр. 2 из 6)
Докажем, что полярная билинейная форма однозначно определяется своей квадратичной формой.
Пусть дана числовая функция f(x) векторного аргумента. Предположим, что f{x) есть некоторая квадратичная форма, т. е. f(x) = a(x,x), причем а{х,у) нам неизвестна. Чтобы найти ее, рассмотрим f(x+y), где х, у — произвольные векторы. Пользуясь свойствами билинейной формы и ее симметричностью, имеем
Отсюда получаем искомое выражение
(4)Формулу (4) можно принять за определение квадратичной формы. Именно можно сказать, что f(x) называется, квадратичной формой, если левая часть формулы (4) является билинейной функцией.
Следует заметить, что определение квадратичной формы не предусматривает наличия базиса; тем самым, оно применимов бесконечномерных пространствах.
Пример. Пусть L— линейное пространство функций, непрерывных на отрезке [0, 1].
Рассмотрим функцию
аргумент которой x= x(t)ЄL.
Имеем
(5)Нетрудно непосредственно проверить, что в правой части равенства (5) стоит билинейная форма. Таким образом, f{x) есть квадратичная форма в бесконечномерном пространстве L.
Вернемся к n-мерному случаю. В n-мерном пространстве рассмотрим квадратичную форму и запишем ее выражение через координаты аргументов.
Пусть а (х,у) = а (у, х), х=у. Тогда
……….…………………………
(6)
Если принять во внимание симметричность коэффициентов, то члены суммы (6), кроме диагональных, естественно объединяются в пары. При этом получается часто употребляемая запись квадратичной формы в виде
. (7)Заметим, что в первой строчке формулы (7) выписаны все члены, содержащие x1.
Ранг квадратичной формы по определению равен рангу ее матрицы: г = RangA.
Канонический вид квадратичной формы. Если в некотором базисе окажется, что все коэффициенты aik = 0 при i ≠ k, то говорят, что в этом базисе квадратичная форма имеет канонический вид
Приведение квадратичной формы к каноническому виду является важной задачей как в теоретических вопросах, так и в прикладной математике. Ниже рассмотрим два метода приведения квадратичной формы к каноническому виду: метод Лагранжа и метод Якоби.
Если Rang = r < n, то после надлежащего изменения номеров матрицу можно записать в виде
.
Замечание. Если привести к каноническому виду квадратичную форму, то одновременно приведется к диагональному виду и ее билинейная форма
Нормальный вид квадратичной формы
(8)считая, что у1,..., уr, уr+1,..., уп— новые координаты вектора х. Выражение (8) называется нормальным видом квадратичной формы f(x).
В комплексном пространстве всякую квадратичную форму можно с помощью невырожденного линейного преобразования привести к нормальному виду (8).
Ограничимся теперь действительными пространствами и действительными линейными преобразованиями. Учитывая, что среди коэффициентов аiiмогут быть отрицательные, положим
(9)Если первые kкоэффициентов аiiположительны, а остальные отрицательны, то мы получим
. (9*)
Выражение (9*) также называется нормальным видом формы f(x).
1.4 Матрица квадратичных форм. Теорема о ранге матрицы
Вся квадратичная форма может быть записана в виде
(1)…………………………………….
Ясно, что коэффициенты
формы 
в записи (1) определены одназначно. Составленная из них матрица 
Называется матрицей квадратичной формы
Ввиду 
элементы матрицы A, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны между собой. Следовательно 
, т.е. A – симметричная матрица.Очевидно, что для любой симметричной матрицы A всегда можно указать такую квадратичную форму, что её матрица совпадает с A. Если две квадратичные формы имеют одну и ту же матрицу, то эти формы могут отличаться друг от друга обозначением переменных, что не имеет существенного значения. Две такие квадратичные формы мы можем считать одинаковыми. Таким образом, квадратичные формы вполне определяются своими матрицами.
Теорема о ранге матрицы.Ранг произвольной матрицы равен максимальному порядку ее миноров, отличных от нуля.
Доказательство. Если RangА = 0, то A — нулевая матрица, и у нее нет отличных от нуля миноров. Естественно считать в этом случае, что максимальный порядок отличных от нуля миноров равен нулю.
Пусть далее матрица А — не нулевая. Если некоторый ее минор М порядка rне равен нулю, а все миноры более высокого порядка равны нулю или отсутствуют вовсе, то М является базисным минором. По лемме о базисном миноре столбцы матрицы А, пересекающие минор М, линейно независимы. Поэтому RangA≥r . По той же лемме любой столбец матрицы А линейно выражается через базисные столбцы. Отсюда, применяя лемму , находим, что RangA≤r. Таким образом, RangA=r, что и требовалось доказать.
1.5 Различные способы приведения квадратичных форм к каноническому виду и к нормальному виду.
Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа.
Пусть дана квадратичная форма f(x)=а(х,х). Вследствие формулы
мы можем в любом базисе записать f(x) в виде
(1)где g— квадратичная форма, не включающая x1.
Запись вида (1) позволяет доказать возможность приведения квадратичной формы к каноническому виду по индукции.
Теорема.Каждую квадратичную форму с помощью невырожденного линейного преобразования можно привести к каноническому виду.
Замечание. Здесь речь идет о преобразовании переменных, именно числовых аргументов х1,...,хпмногочлена (1). Но теорему можно понимать и геометрически, поскольку всякое невырожденное преобразование переменных можно рассматривать как преобразование координат при переходе к новому базису.
Доказательство теоремы. Квадратичная форма от одного переменного всегда имеет канонический вид 
Примем как предположение индукции, что любую квадратичную форму от (n—1) числовых аргументов можно привести к каноническому виду невырожденным линейным преобразованием (n—1) переменных.
Рассмотрим произвольную квадратичную форму f(x) от nчисловых аргументов:
Пользуясь предположением индукции, докажем, что ее можно привести к каноническому виду невырожденным линейным преобразованием n переменных. Возможны два случая:
1) Первый случай. В квадратичной форме хотя f(x) хотябы один из коэффициентов аijпри квадратах переменных отличен от нуля. Не нарушая общности, можем считать, что
именно а11≠ 0. По данным коэффициентам формы f(x) coставим следующее линейное преобразование: