Смекни!
smekni.com

Квадратичные формы 2 (стр. 3 из 6)

(2)

Матрицу этого преобразования обозначим Q:

Преобразование (2) невырождено, так как DetQ = a11 ≠ 0. Отметим также, что невырожденность преобразования (2) вы­текает из его обратимости, которая в свою очередь сразу видна из формул (2).

Возведем в квадрат выражение y1и разделим на a11 ≠0:

где

— некоторая квадратичная форма аргументов х2,...,хп, т. е.
не включает x1. Введем еще одну квадратичную фор­му
тех же аргументов х2,..., хп, положив

где g{x2,..., хп) дана записью f(x) в виде (1). Тогда по­лучим

или, что то же самое,

По предположению индукции существует такое невырож­денное преобразование переменных в числе п—1

(3)

которое приводит к каноническому виду форму

:

Дополним преобразование (3) так, чтобы в нем участво­вали все п переменных. Именно, положим

(4)

Преобразуем переменные x1..., xnв переменные у1,... ...,уппо формулам (2), а затем переменные y1,…,уппреобра­зуем по формулам (4). В результате получим преобразование переменных х1..., хпв переменные z1,...,znкоторое при­водит исходную квадратичную форму к каноническому виду

Последнее преобразование является невырожденным, так как представляет собой произведение невырожденных преобразо­ваний (2) и (4).

Второй случай. В квадратичной форме f(x) все, диагональные коэффициенты аiiравны нулю. Тогда преды­дущие рассуждения неприменимы. Но какой-нибудь из коэф­фициентов отличен от нуля; пусть это будет а12. Тогда квад­ратичная форма имеет вид

(5)

Сделаем преобразование:

(6)

Преобразование (6) обратимо и, следовательно, является не­вырожденным.

Подставив величины (6) в квадратичную форму (5), по­лучим

(7)

Слагаемое

не может исчезнуть при приведении подобных членов, так как все члены квадратичной формы, которые не выписаны в выражении (5), не содержат произве­дения
и не могут в результате преобразования (6) дать величину

Далее квадратичную форму (7) можно невырожденным преобразованием привести к каноническому виду, поскольку дело свелось к первому случаю: коэффициент при

отличен от нуля.

Тем самым рассуждения индукции завершены и теорема доказана.

3 а м е ч а н и е. Из доказательства видно, что квадра­тичную форму с действительными коэффициентами можно привести к каноническому виду с помощью невырожденного линейного преобразования, которое также имеет действитель­ные коэффициенты.

Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Якоби.

Пусть дана квадратичная форма f(x), которая расписана в координатах в некотором базисе е1,…, еп:

Как известно,

Составим матрицу квадратичной формы f(x):

Рассмотрим так называемые главные миноры матрицы А:

(1)

Кроме того, для удобства записи дальнейших формул введем величину

считая
=1.

Метод Якоби проходит в предположении, что все главные миноры матрицы А отличны от нуля:

(2)

При этих предположениях ищется специальный новый базис такой, чтобы

(3)

Для того чтобы привести квадратичную форму f(x) к каноническому виду, достаточно для любого

обеспечить условия

при
(4)

Тогда

тоже будут равны нулю (вследствие симметрич­ности матрицы квадратичной формы), и отличными от нуля окажутся лишь коэффициенты при квадратах числовых аргу­ментов.

Заметим, что для выполнения условий (4) достаточно потребовать соблюдения равенств

(5)

В самом деле, из (5) и (3) имеем

Для упрощения дальнейших выводов добавим к (5) дополни­тельное равенство

(6)

При k = 1 условия (5) исчезают и остается только (6), из которого, с учетом первой строчки формул (3), находим

Отсюда

поскольку

.

Учитывая обозначения (1), можно написать

Дальше будем проводить рассуждение по индукции. Допустим, что уже определены все коэффициенты, входящие в первые k—1 строк формул (3). Для нахождения коэффи­циентов, входящих в строку с номером k, запишем условия (5), и (6) вместе

(7)

Отсюда, используя (3), получим для искомых коэффициентов систему уравнений

(7а)

Определитель системы (7а) совпадает с

и отличен от нуля вследствие предположения (2). Поэтому искомые коэффи­циенты Рk1, ..., Рkkнайдутся. Остается проверить, что по­строенное преобразование невырождено. С этой целью найдем из системы (7а) коэффициент Pkk. Применяя правило Крамера, получим

(8)

Далее, используя треугольную структуру матрицы преобразо­вания (3), найдем определитель Dэтой матрицы:

.

Таким образом,

, а значит, преобразование (3) невы­рождено.

Теперь мы можем определить и коэффициенты квадра­тичной формы в новом базисе

Достаточно вычис­лить лишь диагональные коэффициенты, так как осталь­ные заведомо равны нулю. Используя (3), (7) и (8), на­ходим