Квадратичные формы 2 (стр. 4 из 6)
Значит, в базисе, который построен по методу Якоби,
Приведение квадратичных форм к нормальному виду.
Пусть квадратичная форма f(x) приведена к каноническому виду
(1)где а11,..., аr≠ 0, r — ранг f(x).
Допустим, что мы имеем дело с комплексным пространством и разрешаем себе пользоваться линейными
преобразованиями с комплексными коэффициентами. Положим
(2)Из (1) и (2) получим
(3)считая, что у1,..., уr, уr+1,..., уп— новые координаты вектора х. Выражение (3) называется нормальным видом квадратичной формы f(x). Заметив, что преобразование (2) невырождено, сделаем вывод:
В комплексном пространстве всякую квадратичную форму можно с помощью невырожденного линейного преобразования привести к нормальному виду(3).
1.6 Формулы преобразования и матрицы преобразования.
Переход от одной аффинной системы координат к другой с тем же началом.Аффинная координатная система, или аффинный репер о пространстве, есть тройка некомпланарных векторов
данных в определенном порядке и приложенных к точке О — началу репера.Тройка векторов
называется иногда базисом репера или координатной системы.Если наряду с репером
который будем условно называть «старым», дан «новый» репер с началом О' и базисом 
то возникает общая задача преобразования координат: по координатам произвольной точки М (произвольного вектора u) в одной из двух систем координат найти координаты той же Точки (того же вектора) в другой системе.Предположим, что оба репера имеют одно и то же начало О. Тогда новый репер вполне определен, если заданы векторы
своими координатами (относительно старого базиса), т. е. если даны коэффициенты 
в равенствах 
(1)Матрица
называется матрицей перехода от базиса
к базису а также матрицей перехода от первого репера ко второму. Так как векторы линейно независимы, то детерминант матрицы А* отличен от нуля — матрица перехода от одного базиса к другому есть всегда невырожденная матрица. Так как векторы образуют базис, то каждый из векторов в свою очередь однозначно представим как линейная комбинация векторов 
(1’)- уравнения (1) однозначно разрешимы относительно старых единичных векторов
Посмотрим, как связаны между собой координаты x, у, г и х', у', г' произвольной точки М (произвольного вектора u= ОМ) в старой и новой координатных системах.
Вектор и=ОМ записывается, во-первых, как линейная комбинация векторов
с коэффициентами х, у, г и, во-вторых, как линейная комбинация векторов с коэффициентами х', у', г', так что имеем тождество 
Вносим в это тождество выражения
из (1); получаем 
Но вектор u единственным образом представляется как линейная комбинация векторов
, следовательно, коэффициенты при векторах в левой и правой частях последнего равенства должны быть одни и те же, т. е. 
(2)Эти формулы и выражают старые координаты х, у, г точки М (вектораu) через новые. Матрица
(3)дающая это выражение, называется матрицей преобразования координат; она является транспонированной по отношению к матрице А* перехода от базиса
к базису . Обе матрицы имеют один и тот же отличный от нуля детерминант.2. Переход от одной аффинной системы координат к другой с изменением начала координат. Общий случай перехода от репера
к реперу 
сводится к комбинации двух случаев переноса начала и только что разобранного случая перехода от одного базиса к другому. В самом деле, рассмотрим наряду с двумя реперами и еще третий, «промежуточный», имеющий начало О' = (x0, y0, z0) и базис ; координаты точки относительно этого промежуточного репера обозначим через х", у", z". Тогда х=x0+ х", у=y0+ у",z=z0 + z", где х", у", z" выражаются через х', у', z' по формулам (2) (в которых, естественно, надо х, у, z (слева) соответственно заменить на х", у", z". Получаем окончательно:в пространстве:
(43)на плоскости
(42)Это н есть общие формулы преобразования координат для двух произвольных аффинных координатных систем. Матрица
коэффициентов
в равенствах (43) соответственно (42) называется матрицей преобразования координат.Переход от одной прямоугольной системы координат к другой
Случай прямоугольного репера на плоскости. Можно ограничиться реперами с общим началом. Базис прямоугольного репера состоит из двух взаимно перпендикулярных ортов. Такие базисы будем называть прямоугольными или ортонормальными.
Лемма. Пусть 
и 
— два ортогональных репера на плоскости с общим началом О. Тогда поворотом репера в несущей его плоскости вокруг точки О на некоторый угол
можно перевести репер либо в репер 
либо в репер 
(рис. 59 и 60). Другими словами: репер получается из репера либо поворотом, либо поворотом и последующим отражением (относительно прямой, несущей вектор 
).Доказательство. Репер определяет некоторое положительное направление вращения плоскости, а именно то направление, в котором угол от ортаe1 до орта e2 равен
(а не 
).