Обозначим через
угол от орта e1 до орта е1’. Повернув репер (в его плоскости) в положительном направлении на угол , мы совместим орт e1 с ортом е1’; тогда орт e2, будучи перпендикулярен к орту e1, либо совместится с ортом (рис. 59), либосовместится с противоположным ему ортом —
(рис. 60). Утверждение доказано.Из доказанного следует, что относительно базиса e1 , e2 орт
имеет координаты cos , sin :тогда как для
имеем две возможности:либо
т.е
либо
и тогда
Матрица перехода от базиса
к базису имеет вид:в первом случае
(I)во втором
(II)Базисы
и называются в первом случае одноименными или одинаково ориентированными, а во втором — разноименными или противоположно ориентированными.Так как detC= l в случае одноименных, detC= -1 в случае разноименных базисов, то только что высказанное определение можно сформулировать и так:
Определение. Два ортогональных базиса (репера) одно-именны, если матрица перехода от одного из них к другому имеет положительный детерминант, и разноименны, если этот детерминант отрицателен.
Формулы преобразования координат даются матрицами, транспонированными к матрицам перехода от одного базиса к другому; это будут формулы:
в случае однименных базисов, в случае разноименных базисов.1.7 Закон инерции квадратичных форм
Пусть в действительном пространстве дана квадратичная форма:
где {xi}— координаты вектора х в некотором базисеПусть
— какой-нибудь базис, в котором f(x) имеет нормальный вид: (1) Здесь {у1} — координаты вектора х в базисе .Число положительных и число отрицательных членов в данной формуле называется соответственно положительным и отрицательным индексом формы; разность между положительным и отрицательным индексом называется ее сигнатурой.
Закон инерции квадратичных форм. Положительный и отрицательный индексы являются инвариантами квадратичной формы, то есть не зависят от выбора базиса, в котором она имеет нормальный вид.
Доказательство. Пусть имеется еще один базис
котором форма имеет нормальный вид: (2)где {zi} — координаты х в базисе
. Нужно доказать, что k = m.Предположим, что
например k>m. Рассмотрим формулы преобразования координат (3)Заметим, что матрица Qкоэффициентов
невырождена.Подставим выражения (3) в формулу (2). Мы должны получить выражение (1); таким образом, имеем тождество
(4)т. е. равенство, верное при любых у1, ...,уr, уr+1…,yn, считая, что z1,..., znвыражены через у1, ..., упс помощью (3).
Составим вспомогательную однородную систему уравнений
(5)В системе (5) число неизвестных больше числа уравнений вследствие предположения k>m. Поэтому система (5) имеет нетривиальное решение y1,…,yk. Подставим это решение в тождество (4), взяв дополнительно
(6)В результате, учитывая (3), (5) и (6), получим
(7)Однако это невозможно, так как левая часть (7) строго положительна, тогда как правая либо отрицательна, либо равна нулю. Значит, kне может быть больше т. Теорема доказана.
1.8 Положительно-определённая квадратичная форма
Определение 1. Форма f(x) называется положительно определенной, если f(x) > 0 для всех
.Заметим, что
всегда. В самом деле, так как =0*zи f(x) = а (х, х), где z— произвольный вектор, а (х, у) — билинейная функция, тоКвадратичная форма f(x) называется отрицательно определенной, если f(x)<0 для любого .
Очевидно, что достаточно рассмотреть положительно определенные формы, поскольку отрицательно определенные получаются из них сменой знака.
Ограничиваясь квадратичными формами в конечномерных (n-мерных) пространствах, укажем прежде всего ряд простых необходимых признаков положительной определенности. Пусть в каком-нибудь базисе е1 .,., епдана квадратичная форма
Как нам известно,
1) Если f(x) является положительно определенной, то
при всех i=1,2, ..., п.2) Если форма f(x) положительно определена, то определитель ее матрицы положителен:
Для доказательства приведем f(x) к каноническому виду. Пусть
— канонический базис, то есть базис, в котором f(x) имеет канонический вид:Согласно предыдущему признаку все
Обозначим через
определитель матрицы формы f(x) в каноническом базисе. ИмеемС другой стороны
значит,
Замечание. И это условие не является достаточным для положительной определенности квадратичной формы. Пример: форма