Смекни!
smekni.com

Квадратичные формы 2 (стр. 6 из 6)

имеет

однако

3) В n-мерном пространстве каждая положительно опре­деленная форма имеет ранг п. Доказательство вытекает из неравенства

Теорема (критерий Сильвестра). Для положитель­ной определенности квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры ее матрицы были положительны.

Доказательство необходимости. Пусть форма f{x) положительно определена. Возьмем произвольный базис

построим линейную оболочку
Будем теперь рассматривать квадратичную форму f{x) не на вcём пространстве, а лишь на подпространстве

Если

то
и

Все остальные члены, у коэффициентов которых хотя бы один из двух индексов больше k, исчезают за счет нулевых значений координат.

Форма f(x) на подпространстве

является по­ложительно определенной, так как она положительно опре­делена на всем пространстве. Поэтому определитель формы f(x), рассматриваемой на
положителен:

Но

— главный минор порядка kматрицы квадратичной формы f(x), индекс kможет принимать значения 1, 2,..., п. Тем самым необходимость признака доказана.

Доказательство достаточности. Пусть

при k= 1,..., п.

Приведем квадратичную форму к каноническому виду методом Якоби. Получим

Бели

, то хотя бы одна из координат
, и, следо­вательно,
. Теорема доказана.

Обратим внимание на двумерный случай. Пусть

где на этот раз числовые аргументы формы обозначены через х, у.

Условие Сильвестра сводится к неравенствам

Разумеется, в двумерном случае теорему Сильвестра можно установить без какой-либо специальной теории, поскольку для положительной определенности необходимо a > 0 и при а > 0

2.1. Приложение 1

Пример 1. Дана квадратичная форма

. Привести её к каноническому виду.

Решение. Составим характеристическое уравнение

или

. Корни этого уравнения
. Собственные векторы, определяющие главные направления квадратичной формы найдём из системы:

(1)

Подставляя сюда поочередно значения

и беря каждый раз нормированное решение системы (1), получаем:

Формулы преобразования координат при переходе к этому базису:

В базисе

квадратичная форма имеет канонический вид

Пример 2. Привести к каноническому виду квадратичную форму

Решение. Составим уравнение

или

. Отсюда
. Канонический вид данной квадратичной формы

Для того чтобы найти базис, в котором форма имеет вид, необходима найти собственные векторы симметрического линейного преобразования с матрицей

Запишем систему уравнений, определяющую искомые собственные векторы:

(1)

Подставляя сюда

и беря каждый раз нормированное решение системы (1), найдем векторы, определяющие главные направления квадратичной формы:

Они составляют нужный базис.

При переходе к базису

координаты всех векторов преобразуются по формулам:

Пример 3. Найти для квадратичной формы

её матрицу.

Решение. Для данной квадратичной формы запишем

Следовательно её матрица равна

.

Пример 4. Подвергнем форму

преобразованию

Мы получили форму

Подвергая её обратному преобразованию

приходим к исходной форме

Пример 5. С помощью линейных преобразований переменных преобразуем квадратичную форму

в канонический вид.

После преобразования

Перейдёт в форму с матрицей

т.е в форму

Квадратная матрица вида

у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю, называется диагональной (канонической) матрицей.

2.2. Приложение 2

Список используемой литературы

1. Александров П. С., Лекции по аналитической геомет­рии, пополненные необходимыми сведениями из алгебры, «Наука», 1968.

2. Ефимов Н. В., Линейная алгебра и многомерная геометрия, «Мир», 1961

3. Боревич З.И., Определители и матрицы, «Наука», 1986

4. Гантмахер Ф.Р., Теория матриц, «Дрофа», 2001

5. Шилов Г. Е., Математический анализ. Конечномерные линейные пространства, «Наука», 1969