Аналитическая математика (стр. 1 из 3)

Глава 1. Уравнения, системы уравнений.

1. Линейные уравнения.

1. Уравнение первой степени вида

, называется линейным уравнением. Где - переменные, числа и стоящие перед переменными называются коэффициентами, а и - свободные члены. Запишем линейное уравнение

(1)

Для решения уравнения (1) перенесем переменные содержащие коэффициенты, в левую часть уравнения с положительным знаком, а свободные члены в правую часть уравнения с отрицательным знаком, получим уравнение вида

(2)

Пусть

, а , тогда уравнение (2) будет иметь вид

(3)

Примеры.

1) Решить уравнение

Перенесем неизвестные с коэффициентами в левую часть уравнения , а свободные члены в правую часть, получим

Используя уравнение (3) получим

Ответ:

2) Решить уравнение

Видно, что в этом уравнении есть один отрицательный свободный член – 4. Но, перенося его в правую часть уравнения еще с одним отрицательным знаком, получим

, тогда

Отсюда

Ответ:

3) Решить уравнение

В этом уравнении один коэффициент отрицательный, перенося его и еще с положительным знаком в левую часть нет смысла, т.к.

, тогда

Отсюда

Ответ:

4)

Используя объяснения к уравнению 2), получим

Отсюда

Ответ:

5)

Используя объяснения, приведенные к уравнениям 1), 2), 3), 4), получим

Отсюда

Ответ:

4

2. Пусть дано линейное уравнение вида

(4)

В отличие от уравнения (1) переменные, содержащие коэффициенты, переносятся в левую часть с отрицательным знаком, в правую часть свободные члены переносятся тоже со знаком отрицательным. Но свободный член

в уравнении (4) и так стоит в правой части, поэтому он не будет менять знак, поменяет знак только член . И так, решим уравнение (4).

Перенесем переменные с коэффициентами в левую часть с отрицательным знаком, а член

в правую часть тоже с отрицательным знаком, получим

(5)

Отсюда

Если

, то

Решение уравнения (4) можно записать в виде системы

(6)

Пример. Решить уравнение

Перенесем неизвестные с коэффициентами в левую часть с отрицательным знаком, а член

в правую часть со знаком «минус», тогда

Отсюда

Ответ:

3. Линейное уравнение с двумя переменными имеет вид:

(7)

Для решения уравнения (7) выразим переменную

через переменную , т.е. получим уравнение вида

(8)

Для нахождения решения уравнения (7) в уравнении (8) выбирается произвольное (любое) значение

. Таким образом, уравнение (7) обладает множеством решений.

Пример. Решить уравнение

Воспользуемся формулой (8), тогда

Теперь выберем абсолютно любое значение икса, например, при

, получим

Ответ:

2. Квадратные уравнения.

Уравнение второй степени вида

называется квадратным. Для решения такого уравнения воспользуемся следующими формулами:

и (9)

Где

и - корни квадратного уравнения

Пусть

, тогда если , то можно записать

(10)

Если

, то уравнение не имеет решений.

Пример. Решить уравнение

Пользуясь формулами (9) получим

Ответ:

и

3. Уравнение третей степени.

Уравнение третей степени вида

называется кубичным уравнением. Для решения такого уравнения заменим неизвестное - на коэффициент и вводя подстановку

Получим более упрощенное уравнение третей степени

(11)

Поскольку уравнение в третей степени, то соответственно решениями этого уравнения будут три корня, которые сейчас определим из следующей системы

(12)

Корни

- есть решения уравнения, где - комплексное число.