Числовая последовательность (стр. 2 из 2)

Критерий ограниченности числовой последовательности

Числовая последовательность является ограниченной тогда и только тогда, когда существует такое число, что модули всех членов последовательности не превышают его.

(x_n) ограниченная

Свойства ограниченных последовательностей

Ограниченная сверху числовая последовательность имеет бесконечно много верхних граней.
Ограниченная снизу числовая последовательность имеет бесконечно много нижних граней.
Ограниченная последовательность имеет по крайней мере одну предельную точку.
У ограниченной последовательности существуют верхний и нижний пределы.
Для любого наперёд взятого положительного числа
все элементы ограниченной числовой последовательности
, начиная с некоторого номера, зависящего от
, лежат внутри интервала
.
Если за пределами интервала
лежит лишь конечное число элементов ограниченной числовой последовательности
, то интервал
содержится в интервале
.
Справедлива теорема Больцано — Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

Бесконечно малая последовательность — это последовательность, предел которой равен нулю.
Бесконечно большая последовательность — это последовательность, предел которой равен бесконечности.

Свойства бесконечно малых последовательностей

Бесконечно малые последовательности отличаются целым рядом замечательных свойств, которые активно используются в математическом анализе, а также в смежных с ним и более общих дисциплинах.

Сумма двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
Разность двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.
Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Любая бесконечно малая последовательность ограничена.
Если стационарная последовательность является бесконечно малой, то все её элементы, начиная с некоторого, равны нулю.
Если вся бесконечно малая последовательность состоит из одинаковых элементов, то эти элементы — нули.
Если (x_n) — бесконечно большая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность (1 / x_n), которая является бесконечно малой. Если же (x_n) всё же содержит нулевые элементы, то последовательность (1 / x_n) всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера n, и всё равно будет бесконечно малой.
Если (α_n) — бесконечно малая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность (1 / α_n), которая является бесконечно большой. Если же (α_n) всё же содержит нулевые элементы, то последовательность (1 / α_n) всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера n, и всё равно будет бесконечно большой.

Сходящиеся и расходящиеся последовательности

Сходящаяся последовательность — это последовательность элементов множества X, имеющая предел в этом множестве.
Расходящаяся последовательность — это последовательность, не являющаяся сходящейся.

Свойства сходящихся последовательностей

Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся. Её предел равен нулю.
Удаление любого конечного числа элементов из бесконечной последовательности не влияет ни на сходимость, ни на предел этой последовательности.
Любая сходящаяся последовательность элементов хаусдорфова пространства имеет только один предел.
Любая сходящаяся последовательность ограничена. Однако не любая ограниченная последовательность сходится.
Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является ограниченной и при этом её верхний и нижний пределы совпадают.
Если последовательность (x_n) сходится, но не является бесконечно малой, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность (1 / x_n), которая является ограниченной.
Сумма сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
Разность сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
Произведение сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
Частное двух сходящихся последовательностей определено, начиная с некоторого элемента, если только вторая последовательность не является бесконечно малой. Если частное двух сходящихся последовательностей определено, то оно представляет собой сходящуюся последовательность.
Если сходящаяся последовательность ограничена снизу, то никакая из её нижних граней не превышает её предела.
Если сходящаяся последовательность ограничена сверху, то её предел не превышает ни одной из её верхних граней.
Если для любого номера члены одной сходящейся последовательности не превышают членов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности также не превышает предела второй.
Если все элементы некоторой последовательности, начиная с некоторого номера, лежат на отрезке между соответствующими элементами двух других сходящихся к одному и тому же пределу последовательностей, то и эта последовательность также сходится к такому же пределу.
Любую сходящуюся последовательность (x_n) можно представить в виде (x_n) = (a + α_n), где a — предел последовательности (x_n), а α_n — некоторая бесконечно малая последовательность.
Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной. При этом фундаментальная числовая последовательность всегда сходится (как и любая фундаментальная последовательность элементов полного пространства).

Монотонные последовательности

Основная статья: Монотонная последовательность

Монотонная последовательность — это невозрастающая, либо неубывающая последовательность. При этом предполагается, что на множестве, из которого берутся элементы последовательности, введено отношение порядка.

Фундаментальные последовательности

Основная статья: Фундаментальная последовательность

Фундаментальная последовательность (сходящаяся в себе последовательность, последовательность Коши) — это последовательность элементов метрического пространства, в которой для любого наперёд заданного расстояния найдётся такой элемент, расстояние от которого до любого из следующих за ним элементов не превышает заданного. Для числовых последовательностей понятия фундаментальной и сходящейся последовательностей эквивалентны, однако в общем случае это не так.

Литература

В. А. Зорич

Ю.С.Богданов - "Лекции по математическому анализу" - Часть 2 - Минск - Издательство БГУ им. В.И.Ленина - 1978.