Числовая последовательность (стр. 1 из 2)

Содержание

• 1Определение
• 2Примеры
• 3Операции над последовательностями
• 4Подпоследовательности
• 4.1Примеры
• 4.2Свойства
• 5Предельная точка последовательности
• 6Предел последовательности
• 7Некоторые виды последовательностей
• 7.1Ограниченные и неограниченные последовательности
• 7.1.1Критерий ограниченности числовой последовательности
• 7.1.2Свойства ограниченных последовательностей
• 7.2Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
7.2.1Свойства бесконечно малых последовательностей
• 7.3Сходящиеся и расходящиеся последовательности
7.3.1Свойства сходящихся последовательностей
• 7.4Монотонные последовательности
• 7.5Фундаментальные последовательности

Числовая последовательность — это последовательность элементов числового пространства.

Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе.

Определение

Пусть множество X — это либо множество вещественных чисел

, либо множество комплексных чисел . Тогда последовательность элементов множества X называется числовой последовательностью.

Примеры

• Функция
  является бесконечной последовательностью целых чисел. Начальные отрезки этой последовательности имеют вид
  .
• Функция
  является бесконечной последовательностью рациональных чисел. Начальные отрезки этой последовательности имеют вид
  .
• Функция, сопоставляющая каждому натуральному числу
  одно из слов «январь», «февраль», «март», «апрель», «май», «июнь», «июль», «август», «сентябрь», «октябрь», «ноябрь», «декабрь» (в порядке их следования здесь) представляет собой последовательность вида
  . В частности, пятым членом x₅ этой последовательности является слово «май».

Операции над последовательностями

На множестве всех последовательностей элементов множества X можно определить арифметические и другие операции, если таковые определены на множестве X. Такие операции обычно определяют естественным образом, т. е. поэлементно.

Пусть на множестве X определена N-арная операция f:

Тогда для элементов

,

, …,

множества всех последовательностей элементов множества Xоперация f будет определяться следующим образом:

Суммой числовых последовательностей (x_n) и (y_n) называется числовая последовательность (z_n) такая, что z_n = x_n + y_n.

Разностью числовых последовательностей (x_n) и (y_n) называется числовая последовательность (z_n) такая, что z_n = x_n − y_n.

Произведением числовых последовательностей x_n и y_n называется числовая последовательность (z_n) такая, что

.

Частным числовой последовательности x_n и числовой последовательности y_n, все элементы которой отличным от нуля, называется числовая последовательность

. Если в последовательности y_n на позиции всё же имеется нулевой элемент, то результат деления на такую последовательность всё равно может быть определён, как последовательность .

Конечно, арифметические операции могут быть определены не только на множестве числовых последовательностей, но и на любых множествах последовательностей элементов множеств, на которых определены арифметические операции, будь то поля или даже кольца.

Подпоследовательности

Подпоследовательность последовательности (x_n) — это последовательность

, где (k_n) — возрастающая последовательность элементов множества натуральных чисел.

Иными словами, подпоследовательность получается из последовательности удалением конечного или счётного числа элементов.

Примеры

Последовательность простых чисел является подпоследовательностью последовательности натуральных чисел.

Последовательность натуральных чисел, кратных 12, является подпоследовательностью последовательности чётных натуральных чисел.

Свойства

Всякая последовательность является своей подпоследовательностью.

Для всякой подпоследовательности
верно, что
.

Подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, что и исходная последовательность.

Если все подпоследовательности некоторой исходной последовательности сходятся, то их пределы равны.

Любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности также является бесконечно большой.

Из любой неограниченной числовой последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.

Из любой числовой последовательности можно выделить либо сходящуюся подпоследовательность, либо бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.

Предельная точка последовательности

Основная статья: Предельная точка

Предельная точка последовательности — это точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этой последовательности. Для сходящихся числовых последовательностей предельная точка совпадает с пределом.

Предел последовательности

Основная статья: Предел последовательности

Предел последовательности — это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространстве пределом последовательности называется элемент, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности для числовых последовательностей предел — это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.

Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей. У сходящихся числовых последовательностей он всегда совпадает с обычным пределом.

Верхний предел последовательности — это наибольшая предельная точка этой последовательности.

Нижний предел последовательности — это наименьшая предельная точка этой последовательности.

Некоторые виды последовательностей

Стационарная последовательность — это последовательность, все члены которой, начиная с некоторого, равны.

(x_n) стационарная

Ограниченные и неограниченные последовательности

В предположении о линейной упорядоченности множества X элементов последовательности можно ввести понятия ограниченных и неограниченных последовательностией.

Ограниченная сверху последовательность — это последовательность элементов множества X, все члены которой не превышают некоторого элемента из этого множества. Этот элемент называется верхней гранью данной последовательности.

(x_n) ограниченная сверху

Ограниченная снизу последовательность — это последовательность элементов множества X, для которой в этом множестве найдётся элемент, не превышающий всех её членов. Этот элемент называется нижней гранью данной последовательности.

(x_n) ограниченная снизу

Ограниченная последовательность (ограниченная с обеих сторон последовательность) — это последовательность, ограниченная и сверху, и снизу.

(x_n) ограниченная

Неограниченная последовательность — это последовательность, которая не является ограниченной.

(x_n) неограниченная