Окружности в треугольниках и четырехугольниках (стр. 2 из 3)
4. MK ∙ KP = BK ∙ KC
= BK ∙ 3BK ∙ 3 = 9 ∙ 2
BK ∙ 3 = 18
BK = 6
Ответ: BK = 6
Задача 3: остроугольный равнобедренный треугольник BCD с основанием CD, равным 16, вписан в окружность с центром O и радиусом 10. Найдите площадь треугольника BOC.
 |
Решение:
1. ∆ BCD – равнобедренный, CD = 16, следовательно, DH = HC = 8
2. ∆ DOH – прямоугольный
По теореме Пифагора:
OH2 = 102 – 82
OH2 = 100 – 64 = 36
OH = 6
3. BH = BO + OH = 10 + 6 =16
4. По теореме Пифагора:
BC2 = 162 + 82 = 256 + 64 = 320
BC =
5. ∆ KBO ~ ∆ HBC
6. SBHC =
7.
SBOK = 20
8. SBOC = 2 ∙ SBOK = 2 ∙ 20 = 40
Ответ: SBOC = 40
3.2 Задачи с окружностью, вписанной в треугольник
Задача 4: радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 2 м, а радиус описанной окружности равен 5 м. Найдите больший катет треугольника.
 |
Решение:
1. AC = 2r = 10 м
2. Пусть AM = AK = x, MC = CL = y
По теореме Пифагора:
x + y = 10(x + 2)2 + (y + 2)2 = (x + y)2
y = 10 – x(x + 2)2 + (10 – x + 2)2 = (x + 10 – x)2
(x + 2)2 + (12 – x)2 = 100
x2 + 4x + 4 +144 – 24x + x2 = 100
2x2 – 20x + 148 = 100
2x2 – 20x + 48 = 0
x2 – 10x + 24 = 0
x1 = 6, x2 = 4
y = 10 – x
x = 6 x = 4y = 4 y = 6
3. Так как нужно найти больший катет, то берем y = 6
BC = 2 + 6 = 8 м
Ответ: BС = 8 м
Задача 5: окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, касается его боковых сторон в точках K и A. Точка K делит сторону этого треугольника на отрезки 15 и 10, считая от основания. Найдите длину отрезка KA.
 |
Дано: ∆ BCD – равнобедренный, K є BC, A є DC, BK = 15, KC = 10
Найти: KA
Решение:
1. CD = CB = BK + KC, CD = CB = 15 + 10 = 25
2. CK = CA = 10 (отрезки касательных, проведенные из одной точки), CB = CD, следовательно AD = CD – CA, AD = 25 – 10 = 15
3. BE = BK = 15, DE = DA = 15 (отрезки касательных, проведенные из одной точки), следовательно BD = 15 + 15 = 30
4. ∆ CKA ~ ∆ CBD (ﮮC – общий, CK : CB = CA : CD), следовательно KA : BD = CA : CD, KA : 30 = 10 : 25, KA = 10 ∙ 30 : 25 = 12
Ответ: KA = 12
1. BC = x + y
BC = 18 + 12 = 30 (м)
Ответ: 30 м – диаметр описанной окружности
3.3. Задачи с окружностью, описанной около четырехугольника
Задача 6: в равнобедренной трапеции основания 21 и 9 сантиметров, высота – 8 сантиметров. Найти радиус описанной окружности.
 |
Решение:
1. Проведем серединные перпендикуляры к основаниям Н и К, тогда центр окружности О лежит на прямой НК.
2. АО=ОВ=R. Точка О делит отрезок НК на две части: пусть НО = х, тогда ОК = 8 – х.
3. АО2 = АК2 + КО2; ОВ2 = ВН2 + НО2;
так как ОА2=ОВ2, получим:
АК2 + КО2 = ВН2 + НО2
90 + 64 – 16x = 0
16x = 154
ОВ2 = ВН2 + НО2
Ответ: OB = 10,625
3.4 Задачи с окружностью, вписанной в четырехугольник
Задача 7: в ромб вписана окружность радиуса R. Найти площадь ромба, если его большая диагональ в 4 раза больше радиуса вписанной окружности.
Дано: ромб, радиус вписанной окружности – R, BD
r в 4 разаНайти:
 |
Решение:
1. Пусть OE = R, BD = 4OE = 4R
2.
3.
4.
Ответ:
Задача 8: найдите площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности с радиусом 4, если известно, что боковая сторона трапеции равна 10.
Дано: ABCD – равнобедренная трапеция, r = 4, AB = 10
Найти:
 |
Решение:
1. AB = CD = 10 по условию
2. AB + CD = AD + BC по свойству вписанной окружности
3. AD + BC = 10 + 10 = 20
4. FE = 2r = 2 · 4 = 8
5.
Ответ:
Задача 9: внутри правильного треугольника со стороной a расположены три равные окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника и двух других окружностей. Найти площадь части треугольника, расположенной вне этих окружностей.
 |
Решение:
1. Пусть AB = BC = AC = a.
2. Обозначим O1E = O1K = ED = r, тогда AD = AE + ED = AE + r =
.3. AO1 – биссектриса угла A, следовательно, ﮮ O1AE = 30˚ и в прямоугольном ∆AO1E имеем AO1 = 2O1E = 2r и AE =
= 
= 
. Тогда AE + r = = 
= 
, откуда 
.4.
Ответ:
Задача 10: вся дуга окружности радиуса R разделена на 4 большие и 4 малые части, которые чередуются одна за другой. Большая часть в два раза длиннее малой. Определить площадь восьмиугольника, вершинами которого являются точки деления дуги окружности.
Решение:
1. Пусть ﮮAOB = 2x, ﮮBOC = x, тогда по условию 8x + 4x = 360°, x = 30°, 2x = 60°, ﮮAOB = 60°, ﮮBOC = 30°
2.
3.
4.
Ответ:
Задача 11: стороны треугольника равны 12 м, 16 м и 20 м. Найдите го высоту, проведенную из вершины большего угла.
 |
Решение:
1. 202 = 122 + 162
400 = 144 + 256
400 = 400 верно, следовательно, ∆ АВС – прямоугольный (по теореме, обратной теореме Пифагора)
2.
3.
96 = 10 · ВН
ВН = 9,6
Ответ: ВН = 9,6
Задача 12: в прямоугольный треугольник вписан квадрат, имеющий с ним общий угол. Найдите площадь квадрата, если катеты треугольника равны 10 м и 15 м.
Дано: ∆ ABC – прямоугольный, AC = 15, CB = 10
Найти:
