Производственные функции (стр. 2 из 5)

• о равенстве отношения предельных производительностей ресурсов, отношению цен на них. Например, в качестве «цены труда» рассматривают среднюю ставку заработной платы, а «цены капитала» — норму процента;

• о равенстве эластичностей выпуска по ресурсам и долей их владельцев в доходе.

Иногда производственную функцию записывают в более общем виде:

Тогда последнее выражение называют уравнением производственной поверхности. Его можно обобщить на случай совместного производства нескольких видов продукции:

Но такие многопродуктовые производственные поверхности встречаются лишь в сугубо теоретических работах.

Производственная поверхность— это геометрическое представление производственной функции. В простейшем двумерном случае (один ресурс — один продукт) применяется термин «производственная кривая». Эта кривая позволяет оценить объем производства продукта при наличии определенного количества ресурсов [15].

Если факторов и товаров более одного, например n, т, то можно говорить уже не кривой, а о некоторой гиперповерхности, описывающей все возможные комбинации рассматриваемых товаров, которые можно произвести при полном использовании имеющихся факторов производства. Эта гиперповерхность соединяет точки, показывающие, что дальнейшее наращивание выпуска одного товара возможно только за счет сокращения выпуска других. Примером может служить граница области допустимых значений в задаче линейного программирования. Другой термин для обозначения этого понятия: кривая (поверхность) производственных возможностей [12].

Производственная функция может быть также представлена множеством изоквант, связанных с различными уровнями объема производства.

Общепринятого мнения, каким именно набором свойств, вытекающих из общеэкономических соображений, должна обладать производственная функция, не существует. Однако обычно требуется, чтобы она обладала всеми или хотя бы некоторыми из следующих свойств:

т.е. выпуск невозможен при отсутствии ресурсов;

2. Если

, для

, то

, т.е. при увеличении затрат всех ресурсов выпуск также растет;

, т. е. при увеличении затрат любого из ресурсов, при неизменном количестве остальных, выпуск не сокращается;

, т.е. с увеличением затрат любого из ресурсов, при неизменном количестве остальных, эффективность вовлечения в производство дополнительной его единицы не возрастает (принцип убывающей отдачи последовательных вложений);

, т.е. эффективность затрат любого из ресурсов при увеличении затрат какого-либо другого ресурса и неизменном количестве остальных, не снижается;

— строго квазивогнута;

— вогнута (выпукла вверх).

Это более жесткая формулировка принципа убывающей отдачи последовательных вложений, из которой, в частности, следует свойство 4;

— однородна степени

, т.е.

При

с увеличением масштабов производства его эффективность растет (растущая отдача или экономия от масштаба), при

— падает (падающая отдача или потери от масштаба, при

— не меняется. В одних случаях значение

оценивается статистически, в других на него накладываются априорные

ограничения. В подавляющем большинстве малоразмерных моделей экономического роста предполагается, что

Однако не все производственные функции и не при всех значениях входящих в них переменных обладают перечисленными свойствами. Иногда, хотя и редко, применяют производственные функции, для которых не выполняются первые три свойства, хотя они наиболее «естественны». Часто требуется, чтобы производственная функция обладала указанными свойствами не при всех, а лишь при

«экономически осмысленных» или реально достижимых значениях переменных. Множество таких значений называют экономической областью.

Иногда требуется, чтобы производственная функция, помимо указанных выше свойств, обладала и некоторыми другими. Так, довольно часто, например, используется так называемые асимптотические условия. Состоит оно в том, что значение функции равно нулю при нулевом значении любого из аргументов, например, для случая двухфакторной макроэкономической производственной функции.

Однородную производственную функцию произвольной степени

часто называют неоклассической, если она имеет:

• положительные первые частные производные;

• отрицательные вторые частные производные;

• положительные вторые смешанные производные по всем факторам производства.

Производственная функция позволяет рассчитать ряд важных характеристик:

1) предельная производительность (предельный продукт) фактора j,

. Данный показатель показывает, насколько увеличивается выпуск при увеличении затрат фактора jна одну единицу, при неизменном количестве остальных факторов;

2) частная эластичность выпуска по фактору j(частная факторная эластичность),

. Показывает, на сколько процентов увеличится выпуск при увеличении затрат фактора jна 1% и при неизменном количестве остальных факторов. Частная эластичностьпредставляет отношение предельной производительностик средней;

3) эластичность производства

Эластичность производства показывает, на сколько процентов увеличится выпуск при увеличении на 1% затрат каждого фактора. Этот показатель является локальной характеристикой эффекта масштаба производства. Очевидно, что

4) предельная норма замены (замещения) фактора jфактором i.

Этот показатель определяет количество фактора j , которое требуется для замены одной единицы фактора jпри сохранении на неизменном уровне объема выпуска и количества остальных факторов.

Обычно обозначается

и, по определению, равна:

при

Очевидно, что

5) эластичность замены (замещения) фактора jфактором i. Наряду с предельной нормой замещения этот показатель характеризует возможности замены одного фактора другим. В простейшем случае определяется как

при

Существует и ряд других определений эластичности замещения для многофакторных производственных функций. Все существующие определения эквивалентны только для двухфакторных линейно-однородных производственных функций. В этом случае все они приводят к формуле:

С помощью производственных функций изучается взаимозаменяемость факторов производства, которая может быть неизменной либо переменной (т. е. зависимой от объемов ресурсов).

Соответственно, функции делят на два вида:

- спостояннойэластичностьюзамены (CES — Constant Elasticity of Substitution);

- спеременнойэластичностьюзамены (VES — Variable Elasticity of Substitution).

1.4 Основные формы представления производственных функций.

В настоящее время математиками-аналитиками предложено множество конкретных производственных функций.

Чаще всего используются следующие:

1) линейная

;

2) леонтьевская