Матрица (стр. 2 из 3)

или

или

Некоторые типы естественно возникают в приложениях. Приведённая таблица даёт ряд важных типов квадратных Матрица (в математике)

Следует отметить также ленточные Матрица (в математике) - такие Матрица (в математике), ненулевые элементы которых могут располагаться на главной диагонали и на диагоналях, соседних с главной, например, двухдиагональные и трёхдиагональные Матрица (в математике) Не менее важны специальные типы Матрица (в математике), употребляемых в качестве вспомогательных. Это элементарные Матрица (в математике) - Матрица (в математике), отличающиеся от единичной одним элементом; Матрица (в математике) вращения и отражения.

Имеются унитарные аналоги Матрица (в математике) вращения и отражения; правые (левые) треугольные Матрица (в математике) - Матрица (в математике), у которых равны нулю элементы под (над) главной диагональю; правые (левые) почти треугольные Матрица (в математике) (Матрица (в математике) типа Хессенберга) - Матрица (в математике), у которых равны нулю элементы под (над) диагональю, соседней снизу (сверху) с главной.

Преобразование матриц. Численные методы решения систем линейных уравнений основываются обычно на преобразовании систем посредством цепочки левых умножений на подходящие вспомогательные Матрица (в математике) с тем, чтобы перейти к легко решаемой системе. В качестве вспомогательных для вещественных Матрица (в математике) употребляются элементарные Матрица (в математике), Матрица (в математике) вращения или Матрица (в математике) отражения. Система с неособенной Матрица (в математике) приводится либо к системе с треугольной Матрица (в математике), либо с ортогональной. В теоретическом аспекте это равносильно представлению Матрица (в математике) коэффициентов в виде произведения двух треугольных Матрица (в математике) (при выполнении некоторых дополнительных условий) или в виде произведения треугольной на ортогональную (в том или другом порядке).

Для переопределённой системы умножением слева на цепочку Матрица (в математике) вращения или отражения можно прийти к системе с треугольной Матрица (в математике) порядка n, решение которой даёт обобщённое решение исходной системы.

Для решения проблемы собственных значений, раньше чем применять наиболее эффективные итерационные методы, целесообразно подобно преобразовать Матрица (в математике) общего вида к Матрица (в математике) типа Хессенберга или к трёх диагональной в случае симметрии. Этого можно добиться за счёт цепочки подобных преобразований элементарными Матрица (в математике), Матрица (в математике) вращения или Матрица (в математике) отражения.

Историческая справка. Понятие Матрица (в математике) было введено в работах У. Гамильтонаи А. Кэли в середине 19 века. Основы теории созданы К. Вейерштрассом и Ф. Фробениусом (2-я половина 19 века и начало 20 века). И. А. Лаппо-Данилевский разработал теорию аналитических функций от многих матричных аргументов и применил эту теорию к исследованию систем дифференциальных уравнений с аналитическими коэффициентами. Матричные обозначения получили распространение в современной математике и её приложениях. Исчисление Матрица (в математике) развивается в направлении построения эффективных алгоритмов для численного решения основных задач.



Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, 9 изд., т. 3, ч. 1, Матрица (в математике), 1967; Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, 3 изд., Матрица (в математике), 1970; Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, 3 изд., Матрица (в математике), 1967; Уилкинсон Дж. Х., Алгебраическая проблема собственных значений, перевод с английского, Матрица (в математике), 1970; Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н., Вычислительные методы линейной алгебры, 2 изд., Матрица (в математике) - Л., 1963; Воеводин В. В., Численные методы алгебры. Теория и алгорифмы, Матрица (в математике), 1966; Лаппо-Данилевский И. А., Применение функций от матриц к теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, Матрица (в математике), 1957; Фрезер Р. А., Дункан В., Коллар А., Теория матриц и её приложения к дифференциальным уравнениям и динамике, перевод с английского, Матрица (в математике), 1950; Вазов В., Форсайт Дж., Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных, перевод с английского, Матрица (в математике), 1963.

В. Н. Фаддеева.