Розв'яжемо відповідне однорідне рівняння
, застосувавши метод Ейлера. Тобто розв'язок шукаємо у вигляді = . Знайшовши = , = , підставивши ці значення в рівняння та скоротивши на маємо так зване характеристичне рівняння: ,з якого знайдемо корені :З цього маємо фундаментальну систему розв’язків рівняння:
За теоремою про загальний розв'язокоднорідного рівняння, маємо:
деТому можемо сказати, що відповідна однорідна задача має однопараметричну сім’ю розв’язків
, де – довільна стала, для якої умова теореми 1 виконано, бо . Методом невизначених коефіцієнтів знайдемо частинний розв’язок диференціального рівняння задачі: . Загальний розв’язок цього рівняння має вигляд:Для того, щоб задовольнити крайовій умові, достатньо покласти
. Сталу виберемо так, щоб справджувалась умова ортогональності шуканого розв’язку й функції :Звідси
= . Остаточно маємо:Знайдемо функцію Гріна для цієї крайової задачі
За функцію
візьмемо (коефіцієнт вибирається з умови нормованості ) Розв'язком однорідного рівняння, який не задовольняє крайові умови, є, наприклад .Далі рівняння
Має частинний розв'язок вигляду
, отже, узагальнену функцію Гріна шукаємо у вигляді(коефіцієнт
вбирають у себе функції і ).Оскільки в нашому випадку
, то умови неперервності і стрибка похідної функції при мають вигляд , .Звідси
, ;Наслідком крайової умови в точці
є рівність . Тоді в точці маємо: .Отже, функціязадовольняє пунктам 1-3 означення узагальненої функції Гріна.
Нарешті, функцію
визначимо з умови ортогональності . Обчисливши відповідні інтеграли, знаходимоОстаточно маємо