Смекни!
smekni.com

Узагальнена функція Гріна (стр. 3 из 3)

Розв'яжемо відповідне однорідне рівняння

, застосувавши метод Ейлера. Тобто розв'язок
шукаємо у вигляді
=
. Знайшовши

=
,
=
, підставивши ці значення в рівняння та скоротивши на
маємо так зване характеристичне рівняння:
,з якого знайдемо корені
:

З цього маємо фундаментальну систему розв’язків рівняння:

За теоремою про загальний розв'язокоднорідного рівняння, маємо:

де

Тому можемо сказати, що відповідна однорідна задача має однопараметричну сім’ю розв’язків

, де
– довільна стала, для якої умова теореми 1 виконано, бо
. Методом невизначених коефіцієнтів знайдемо частинний розв’язок диференціального рівняння задачі:
. Загальний розв’язок цього рівняння має вигляд:

Для того, щоб задовольнити крайовій умові, достатньо покласти

. Сталу
виберемо так, щоб справджувалась умова ортогональності шуканого розв’язку й функції
:

Звідси

=
. Остаточно маємо:

Знайдемо функцію Гріна для цієї крайової задачі

За функцію

візьмемо
(коефіцієнт
вибирається з умови нормованості
) Розв'язком однорідного рівняння, який не задовольняє крайові умови, є, наприклад
.

Далі рівняння

Має частинний розв'язок вигляду

, отже, узагальнену функцію Гріна шукаємо у вигляді

(коефіцієнт

вбирають у себе функції
і
).

Оскільки в нашому випадку

, то умови неперервності і стрибка похідної функції
при
мають вигляд

,
.

Звідси

,
;

Наслідком крайової умови в точці

є рівність
. Тоді в точці
маємо:
.Отже, функція

задовольняє пунктам 1-3 означення узагальненої функції Гріна.

Нарешті, функцію

визначимо з умови ортогональності

. Обчисливши відповідні інтеграли, знаходимо

Остаточно маємо