Узагальнена функція Гріна (стр. 1 из 3)

Найпоширенішою задачею в теорії звичайних рівнянь є задача Коші. Додаткові умови цієї задачі за своєю суттю є початковими: в них фігурують значення невідомої функції та її похідних( якщо порядок рівняння перевищує одиницю) при фіксованому значенні незалежної змінної. Зрозуміло, що це не єдиний спосіб виділення того, чи іншого частинного розв’язку з множини всіх функцій, які задовольняють диференціальне рівняння. Часто виникає потреба у знаходженні такого розв’язку, для якого виконувалися б так звані крайові умови: значення шуканої функції та її похідних мають задовольняти певні співвідношення в кількох фіксованих точках проміжку, який пробігає незалежна змінна. Причому, задачу відшукання такого розв’язку називають крайовою задачею. Такі крайові задачі мають прикладне значення і частіше виникають у практиці. Наприклад,задача про форму провислого каната із закріпленими кінцями зводиться до відшукання такого розв’язку диференціального рівняння другого порядку, графік якого проходив би через дві наперед задані точки, або, щоб знайти Т-періодичний розв'язок лінійного Т-періодичного рівняння

, потрібно з усіх розв’язків вибрати той, який задовольняє умову . Для розв’язання крайових задач використовують так звану функцію Гріна, спробуємо зрозуміти, як вона будується у загальному випадку.

Розглянемо випадок,коли однорідна крайова задача

(1)

(2),

має хоча б один нетривіальний розв’язок. При цьому, нехай функція

неперервно диференційована на , а дійсні функції - неперервні на ,та - задані числа, причому,

Позначимо цей розв’язок через

.

Твердження 1.

Однорідна крайова задача (1),(2) має нетривіальний розв'язок тоді і лише тоді, коли розв’язки

та лінійно залежні.

Доведення.

Нехай неоднорідна крайова задача має нетривіальний розв'язок

. Оскільки як , так і задовольняють першу крайову умову (2), а , то вронскіан цих розв’язків дорівнює нулю, а отже, вони лінійно залежні. Так само можна довести лінійну залежність розв’язків та . Звідси випливає, що та також лінійно залежні.

Навпаки,нехай зазначені розв’язки лінійно залежні. Тоді для деякої сталої

маємо . Тепер зрозуміло,що, наприклад, функція := є розв’язком однорідної крайової задачі. Твердження доведено.

Звідси можна зробити висновок, що множина всіх розв’язків задачі – це сім’я функцій вигляду,

, де - довільна стала. Тому, не обмежуючи загальності викладу, вважатимемо, що вибрано так, щоб справджувалась умова нормування

Необхідну умову існування розв’язку неоднорідної крайової задачі встановлює таке твердження.

Твердження 2.

Якщо задача

(3)

(2)

Має розв’язок

, то функція ортогональна до нетривіального розв’язку відповідної крайової задачі (1),(2), тобто

(4)

Доведення.

Застосуємо формулу Гріна до пари функцій

та . Оскільки вони задовольняють крайові умови то згідно з властивістю симетричності оператора маємо:

Урахувавши, що

і , дістанемо(4). Зауважимо, що при довільному функція теж є розв’язком задачі (3),(2). Аби уникнути такої неоднозначності, умови (2) слід доповнити ще однією. Найприроднішою додатковою умовою є вимога ортогональності

(5)

Твердження 3.

Якщо задача (3),(2),(5) має розв’язок

,то він єдиний.

Доведення.

Справді, різниця двох розв’язків задачі (3),(2),(5) є розв’язком вигляду

відповідної однорідної задачі. З умови (5) та нормованості функції одразу випливає, що

Розв’яжемо вироджену крайову задачу за допомогою методу варіації довільних сталих, вважаючи, що умова ортогональності (4) справджується. Виберемо лінійно незалежний з

розв’язок однорідного рівняння (1) так, щоб виконувалася рівність

Цим ми дещо спростимо формули, які буде одержано нижче. Шукаємо розв’язок (3) методом варіації сталих у вигляді

(6)

отримаємо таку систему:

Розв’яжемо її відносно

та за правилом Крамера.

Маємо рівняння

, (7)

При цьому

Тому, аби розв’язок

задовольняв крайову умову в точці ,необхідно вимагати виконання рівності . Звідси і з урахуванням (4) . Остання рівність забезпечить справдження крайової умови в правому кінці проміжку .

Загальний розв’язок першого з рівнянь (7) візьмемо у вигляді

, де - довільна стала. Підставивши знайдені функції , в (6), дістанемо одно параметричну сім’ю функцій