Особые свойства Гамма-функции Эйлера (стр. 3 из 5)

Отсюда вытекает непрерывность гамма функции при

.Докажем дифференцируемость этой функции при .Заметим что функция непрерывна при и , и покажем ,что интеграл :

сходится равномерно на каждом сегменте

, . Выберем число так , чтобы ; тогда при .Поэтому существует число такое , что и на .Но тогда на справедливо неравенство

и так как интеграл

сходится, то интеграл сходится равномерно относительно на . Аналогично для существует такое число , что для всех выполняется неравенство . При таких и всех получим , откуда в силу признака сравнения следует , что интеграл сходится равномерно относительно на . Наконец , интеграл

в котором подынтегральная функция непрерывна в области

, очевидно, сходится равномерно относительно на . Таким образом , на интеграл

сходится равномерно , а, следовательно , гамма-функция бесконечно дифференцируема при любом

и справедливо равенство

.

Относительно интеграла

можно повторить те же рассуждения и заключить, что

По индукции доказывается , что Г-функция бесконечно дифференцируема при

и для ее я -ой производной справедливо равенство

Изучим теперь поведение

- функции и построим эскиз ее графика. (см. Приложение 1)

Из выражения для второй производной

-функции видно, что для всех . Следовательно, возрастает. Поскольку , то по теореме Роля на сегменте [1,2]производная при и при , т. е. Монотонно убывает на и монотонно возрастает на . Далее , поскольку , то при . При из формулы следует , что при .

Равенство

, справедливое при , можно использовать при распространении - функции на отрицательное значение .

Положим для

, что . Правая часть этого равенства определена для из (-1,0). Получаем, что так продолженная функция принимает на (-1,0) отрицательные значения и при , а также при функция .

Определив таким образом

на , мы можем по той же формуле продолжить ее на интервал (-2,-1). На этом интервале продолжением окажется функция, принимающая положительные значения и такая, что при и . Продолжая этот процесс, определим функцию , имеющею разрывы в целочисленных точках (см. Приложение 1.)