Особые свойства Гамма-функции Эйлера (стр. 4 из 5)

Отметим еще раз, что интеграл

определяет Г-функцию только при положительных значениях

, продолжение на отрицательные значения осуществлено нами формально с помощью формулы приведения .

4. Вычисление некоторых интегралов.

Формула Стирлинга

Применим гамма функцию к вычислению интеграла:

где m > -1,n > -1.Полагая , что

,имеем

и на основании (2.8) имеем

(4.1)

В интеграле

Где k > -1,n > 0,достаточно положить

Интеграл

Где s > 0,разложить в ряд

=

где

дзетта функция Римана

Рассмотрим неполные гамма функции (функции Прима)

связанные неравенством

Разлагая,

в ряд имеем

Переходя к выводу формулы Стирлинга , дающей в частности приближенное значение n! при больших значениях n ,рассмотрим предварительно вспомогательную функцию

(4.2)

Непрерывна на интервале (-1,

) монотонно возрастает от до при изменении от до и обращаются в 0 при u = 0.Так как

то

при u > 0 и при u < 0 , далее имеем

И так производная непрерывна и положительна во всем интервале

,удовлетворяет условию

Из предыдущего следует, что существует обратная функция,

определенная на интервале непрерывная и монотонно возрастающая в этом интервале,

Обращающаяся в 0 при v=0 и удовлетворяющая условие

(4.3)

Формулу Стирлинга выведем из равенства

полагая

,имеем

Положим далее

введенная выше обратная функция, удовлетворяющая условиям u = -1при ,и при .Замечая что(см.4.2)

имеем

,

полагая на конец ,

,получим

или

в пределе при

т.е. при (см 4.3)

откуда вытекает формула Стирлинга

которую можно взять в виде

(4.4)

где

,при

для достаточно больших

полагают

(4.5)

вычисление же производится при помощи логарифмов

если

целое положительное число, то и (4.5) превращается в приближенную формулу вычисления факториалов при больших значениях n

приведем без вывода более точную формулу

где в скобках стоит не сходящийся ряд.

5. Примеры вычисления интегралов

Для вычисления необходимы формулы:

Г(

)

Вычислить интегралы

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Для вычисления гамма-функции используется аппроксимация её логарифма. Для аппроксимации гамма-функции на интервале x>0 используется следующая формула (для комплексных z):

Г(z+1)=(z+g+0.5)^z+0.5exp(-(z+g+0.5))

[a₀+a₁/(z+1)+a₂/(z+2)+...+a_n/(z+n)+eps]

Эта формула похожа на аппроксимацию Стирлинга, но в ней имеется корректирующая серия. Для значений g=5 и n=6, проверено, что величина погрешности ε не превышает 2*10^-10. Более того, погрешность не превышает этой величины на всей правой половине комплексной плоскости: z > 0.

Для получения (действительной) гамма-функции на интервале x>0 используется рекуррентная формула Г(z+1)=zГ(z) и вышеприведенная аппроксимация Г(z+1). Кроме того, можно заметить, что удобнее аппроксимировать логарифм гамма-функции, чем ее саму. Во-первых, при этом потребуется вызов только одной математической функции - логарифма, а не двух - экспоненты и степени (последняя все равно использует вызов логарифма), во-вторых, гамма-функция - быстро растущая для больших x, и аппроксимация ее логарифмом снимает вопросы переполнения.