Теория вероятности и математическая статистика 4 (стр. 10 из 18)

Дисперсии этих распределений называют генеральной и выборочной дисперсиями.

Отношение числа элементов

генеральной и выборочной совокупностей, обладающих некоторым признаком , к их объемам, называются соответственно генеральной

и выборочной долями

.

В случае бесконечной генеральной совокупности (

под генеральной средней и дисперсией понимаются соответственно математической ожидание и дисперсия распределение признака (генеральной совокупности), а под генеральной долей - вероятность данного события.

Сущность выборочного метода состоит в том, чтобы по некоторой части генеральной совокупности (по выборке) выносить суждение о свойствах генеральной совокупности в целом.

Чтобы по данным выборки можно было достоверно судить о генеральной совокупности, выборочная совокупность должна быть отобрана случайно (т.е. по схеме случая или «урн»). При случайном отборе используют два способа образования выборки:

· Повторный отбор, когда каждый элемент, отобранный и обследованный, возвращается в общую совокупность и может быть повторно отобран;

· Бесповторный отбор, когда отобранный элемент не возвращается в общую совокупность.

Оценкой

неизвестного параметра генеральной совокупности

называют всякую функцию результатов наблюдений над случайной величиной , с помощью которой судят о значении параметра . Оценка

в отличие от оцениваемого параметра является случайной величиной, зависящей от закона распределения и числа (объема выборки).

В качестве оценок параметров генеральной совокупности желательно использовать оценки, удовлетворяющие одновременно требованиям несмещенности, состоятельности и эффективности.

Оценка

параметра называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру:

Требование несмещенности гарантирует отсутствие систематических ошибок при оценивании.

Оценка

параметра

называется состоятельной, если она удовлетворяет закону больших чисел, т.е. сходится по вероятности к оцениваемому параметру:

или .

Оценка

параметра называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных оценок параметра , вычисленных по выборкам одного и того же объема .

Оценки

можно находить методами моментов, максимального правдоподобия и наименьших квадратов.

Согласно методу моментов, определенное количество выборочных моментов (начальных

или центральный ) приравнивается к соответствующим теоретическим моментам распределения ( и ) случайной величины .

Основы метода наибольшего правдоподобия составляют функции правдоподобия, выражающая плотность вероятности совместного появления результатов выборки

:

.

Согласно метода наибольшего правдоподобия в качестве оценки неизвестного параметра

принимается такое значение , которое максимизирует функцию :

или

Метод наименьших квадратов предусматривает определение оценки из условий минимизации квадратов отклонений выборочных данных

от определяемой оценки :

.

Точечная и интервальная оценка.

Оценка неизвестного параметра

генеральной совокупности одним числом называют точечной: = .

Выборочная доля

является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной доли

, дисперсия которой для повторной выборки равна:

,

а для бесповторной:

Выборочная средняя

есть несмещенная и состоятельная оценка генеральной средней , дисперсия которой для повторной выборки рана:

,

а для бесповторной:

.

Выборочная дисперсия

повторной и бесповторной выборок есть смещенная и состоятельная оценка генеральной дисперсии

, так как

.

Не смещенной и состоятельной оценкой генеральной дисперсии

является исправленная выборочная дисперсия

.

Интервальной оценкой параметра

называется числовой интервал , который с заданной вероятностью накрывает неизвестной значение параметра . Такой интервал называют доверительным, а вероятность - доверительной вероятностью или надежностью оценки.

Наиболее часто доверительный интервал выбирают симметричным относительно параметра

: