Смекни!
smekni.com

Теория вероятности и математическая статистика 4 (стр. 12 из 18)

.

Поскольку

, то критерий при известных генеральных дисперсиях будет равен:

При выполнении гипотезы

критерий

при больших объемах выборок или при малых, при условии, что генеральные совокупности
и
подчиняются нормальному закону, так же будет подчиняться нормальному закону
с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Поэтому, например, при конкурирующей гипотезе
, выбирают двухстороннюю критическую область. Критическое значение критерия
выбираем из условия:

.

Если фактически наблюдаемое значение критерия

по абсолютному значению больше критического
, определенного на уровне значимости
, т.е.
, то гипотеза
отвергается.

Если

, то делаем вывод, что нулевая гипотеза
не противоречит имеющимся наблюдениям.

При неизвестных генеральных дисперсиях

и
, но они равны, т.е.
, то в качестве неизвестной величины
можно взять ее оценку – «исправленную» выборочную дисперсию:

или
.

Однако лучшей оценкой дисперсии разности независимых выборочных средних

будет дисперсия смешанной совокупности
:

.

В этом случае критерий вычисляем по выражению:

.

Доказано, что в случае критерий

имеет распределение Стьюдента с
степенями свободы. Поэтому критическое значение критерия
находится в зависимости от типа критической области по функции
распределения Стьюдента, т.е.
.

При этом сохраняется тоже правило принятия гипотезы: гипотеза

отвергается на уровне значимости

, если
и принимается, если
, т.е. с надежностью
можно считать расхождение средних значений незначимым.

В случае невозможности наложения допущения о равенстве генеральных дисперсий задача не имеет точного решения (пока) – это проблема Беренса-Фишера.

Рассмотренные критерии можно применять для исключения грубых ошибок при проведении наблюдений.

Например, если в ряде наблюдений

,
- резко отличается, то справедливость гипотезы
:
о принадлежности
к остальным наблюдениям проверяем по критерию:

,

где

- средняя арифметическая,
-«исправленное» среднее квадратическое отклонении ряда наблюдений
. При справедливости
критерий должен подчиняться так же закону распределения Стьюдента со степенью свободы
. При конкурирующей гипотезе
или
, т.е. является ли резко выделяющееся значение меньше или больше остальных наблюдений
находится по функции
распределения Стьюдента при условии, что
. Если
, то гипотеза
принимается. При условии
, гипотеза
отвергается.

Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных генеральных совокупностей.

Проверка гипотезы

, о том, что дисперсии двух нормально распределенных генеральных совокупностей

, сводится к сравнению выборочных «исправленных» дисперсий
и
, вычисляемые по двум независимым выборкам объемом
и
. В качестве критерия принимается отношение выборочных «исправленных» дисперсий
и
:

.

Доказано, что при справедливости гипотезы

критерий

представляет собой случайную величину с распределением Фишера-Снедекора с степенями свободы
и
.