Поскольку
, то критерий при известных генеральных дисперсиях будет равен:При выполнении гипотезы критерий
при больших объемах выборок или при малых, при условии, что генеральные совокупности и подчиняются нормальному закону, так же будет подчиняться нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Поэтому, например, при конкурирующей гипотезе , выбирают двухстороннюю критическую область. Критическое значение критерия выбираем из условия: .Если фактически наблюдаемое значение критерия
по абсолютному значению больше критического , определенного на уровне значимости , т.е. , то гипотеза отвергается.Если
, то делаем вывод, что нулевая гипотеза не противоречит имеющимся наблюдениям.При неизвестных генеральных дисперсиях
и , но они равны, т.е. , то в качестве неизвестной величины можно взять ее оценку – «исправленную» выборочную дисперсию: или .Однако лучшей оценкой дисперсии разности независимых выборочных средних
будет дисперсия смешанной совокупности : .В этом случае критерий вычисляем по выражению:
.Доказано, что в случае критерий
имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. Поэтому критическое значение критерия находится в зависимости от типа критической области по функции распределения Стьюдента, т.е. .При этом сохраняется тоже правило принятия гипотезы: гипотеза отвергается на уровне значимости
, если и принимается, если , т.е. с надежностью можно считать расхождение средних значений незначимым.В случае невозможности наложения допущения о равенстве генеральных дисперсий задача не имеет точного решения (пока) – это проблема Беренса-Фишера.
Рассмотренные критерии можно применять для исключения грубых ошибок при проведении наблюдений.
Например, если в ряде наблюдений
, - резко отличается, то справедливость гипотезы : о принадлежности к остальным наблюдениям проверяем по критерию: ,где
- средняя арифметическая, -«исправленное» среднее квадратическое отклонении ряда наблюдений . При справедливости критерий должен подчиняться так же закону распределения Стьюдента со степенью свободы . При конкурирующей гипотезе или , т.е. является ли резко выделяющееся значение меньше или больше остальных наблюдений находится по функции распределения Стьюдента при условии, что . Если , то гипотеза принимается. При условии , гипотеза отвергается.Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных генеральных совокупностей.
Проверка гипотезы , о том, что дисперсии двух нормально распределенных генеральных совокупностей
, сводится к сравнению выборочных «исправленных» дисперсий и , вычисляемые по двум независимым выборкам объемом и . В качестве критерия принимается отношение выборочных «исправленных» дисперсий и : .Доказано, что при справедливости гипотезы критерий
представляет собой случайную величину с распределением Фишера-Снедекора с степенями свободы и .