Теория вероятности и математическая статистика 4 (стр. 13 из 18)

Поэтому, выбрав необходимый уровень значимости

по таблицам распределения Фишера-Снедекора, находим критическое значение .

Если

, то гипотеза

принимается.

Лекция№13.Проверка статистических гипотез о законе распределения генеральной совокупности

Проверку гипотезы

, о том, что генеральная совокупность подчиняется определенному теоретическому закону распределения

, осуществляют с помощью критериев согласия. Доля проверки гипотезы

выбирают некоторую случайную величину , характеризующую степень расхождения теоретического и эмпирического распределения, закон распределения которой при достаточно больших объемах выборки известен и практически не зависит от закона распределения генеральной совокупности. Зная закон распределения , можно найти вероятность того, что приняла значение не меньше, чем фактически наблюдаемое в опыте , т.е. . Если мала, то это означает в соответствии с принципом практической уверенности, что такие, как в опыте, и большие отклонения практически невозможны. В этом случае гипотезу

отвергают. Если же вероятность не мала, расхождение между эмпирическим и теоретическим распределением несущественно и гипотезу

можно считать правдоподобной или, по крайней мере, не противоречащей опытным данным.

Существует несколько критериев согласия:

(хи- квадрат) Пирсона, Колмогорова, Смирнова и т.д.

Критерий согласия

(хи- квадрат) Пирсона

В наиболее часто используемом на практике критерии

- Пирсона в качестве меры расхождения

берется величина

, равная относительной сумме квадратов отклонений межу эмпирическими и теоретическими частотами попадания в интервалы :

,

где

-число интервалов эмпирического распределения (вариационного ряда), - объем выборки, - вероятность попадания случайной величины в интервал , вычисленная по закону распределения, соответствующему гипотезе

.

Доказано, что при справедливости гипотезы

и при

критерий

имеет

- распределение со степенями свободы, где - число параметров теоретического распределения, вычисленных по экспериментальным данным.

Методика применения критерия

следующая:

1. Разбиваем всю область наблюдаемых выборочных значений

на интервалов шириной и подсчитываем количество выборочных значений , попавших в каждый из этих интервалов. Предполагая, согласно выдвинутой гипотезы, известным теоретический закон распределения генеральной совокупности определяем вероятность попадания случайной величины в интервал :

.

Умножив полученные вероятности на объем выборки

, получаем теоретические частоты попадания в интервалы и рассчитываем меру расхождения между частотами

.

2.Для выбранного уровня значимости

по таблице

- распределения находим критическое значение при числе степеней свободы .

3. Если фактически наблюдаемое значение

больше критического, т.е.

, то гипотеза

отвергается, если , гипотеза

не противоречит опытным данным.

Следует отметить, что критерий

имеет закон распределения

лишь при

. Поэтому этот критерий нельзя применять при малых объемах выборок. Поэтому необходимо чтобы в каждом интервале было не менее 5-10 выборочных значений, а весь объем выборки был порядка сотен.

Критерий согласия Колмогорова

Критерий Колмогорова применяется в тех случаях, когда заранее известен не только вид распределения, но и числовые характеристики распределения. В этом критерии в качестве меры расхождения между теоретическими и эмпирическими распределениями рассматривают максимальное значение абсолютной величины разности между эмпирической функцией распределения

и соответствующей теоретической функции распределения :

,

называемое статистикой критерия Колмогорова.

Доказано, что какова бы ни была функция распределения

, при неограниченном увеличении числа наблюдений вероятность неравенства стремится к пределу

.

Задавая уровень значимости

, из соотношения по приведенной формуле рассчитаны и представлены в таблицах критические значения . Так, например, уровням значимости , равным 0,05, 0,01 и 0,001 соответствуют равные 1,36, 1,63 и 1,95 соответственно.