Теория вероятности и математическая статистика 4 (стр. 2 из 18)

Замечание. Перестановки можно считать частным случаем размещений (именно размещениями из

элементов по ) .

3. Сочетания. Из

различных элементов будем составлять множества по элементов, имеющих различный состав. Полученная при этом комбинации элементов называются сочетаниями из элементов по . Общее число различных между собой сочетаний обозначается и вычисляется по следующим формулам:

,

или

.

Лекция №2 Свойства вероятностей. Условная вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Пусть для некоторого случайного эксперимента построено пространство элементарных событий

Числовая неотрицательная функция удовлетворяет следующим свойствам:

1. Если события

образуют полную группу событий, то вероятность объединения этих событий равна единице:

2. Вероятность противоположного события:

3. Если событие

влечет за собой событие , то вероятность события не превосходит вероятность события , т.е.

Пусть

и - наблюдаемые события в эксперименте , причем . Условной вероятностью осуществления события при условии, что событие произошло в результате данного эксперимента, называется величина, определяемая равенством:

Теорема сложения:

Пусть событие

-совместные события. Тогда вероятность их объединения вычисляется по формуле:

.

Теорема умножения :

Вероятность произведения событий

равна произведению вероятностей событий, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие имели место:

2.2. Формула полной вероятности. Формула Бейеса ( теорема гипотез)

Пусть случайный эксперимент можно описать событиями

которые являются попарно несовместными и Такие события называют гипотезами . Предполагается, что событие может произойти с одной из гипотез .

Теорема: Вероятность любого события

, которое может произойти с одной из гипотез

будет равна сумме произведений вероятностей гипотез на условную

вероятность события

:

- формула полной вероятности.

Пусть случайный эксперимент можно описать попарно несовместными событиями

объединение которых образует пространство элементарных событий Событие может произойти с одной из гипотез. Предполагается, что в результате эксперимента произошло событие . Как изменится вероятность гипотез при этом? Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.

Теорема: Пусть событие

может произойти с одной из гипотез

Которые описывают случайный эксперимент. Если в результате реализации

эксперимента произошло событие

, то вероятность гипотез вычисляются по

следующим формулам :

- формулы Байеса.

Лекция №3 -5 Случайные величины. Функции распределения случайных величин

3.1. Дискретные случайные величины

Случайная величина , обозначаемая

, называется дискретной, если она принимает

конечное либо счетное множество значений, т.е. множество

-конечное, либо счетное.

Законом распределения дискретной случайной величины называется совокупность пар

чисел

, где - возможные значения случайной величины, а - вероятности, с

которыми она принимает эти значения, причем

Зная закон распределения случайной величины, можно вычислить функцию распределения:

где суммирование распространяется на все значения индекса

, для которых

Математическим ожиданием

дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений и соответствующих им вероятностей:

Модой дискретной случайной величины, обозначаемой

называется ее наиболее вероятное значение.

Медианойслучайной величины

называется такое ее значение , для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше , т.е.

Дисперсией случайной величины называется математическое ожиданиеквадрата ее отклонения:

Дисперсия дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

или

Средним квадратическим отклонением (стандартом) случайной величины

называется арифметический корень из дисперсии, т.е.