Смекни!
smekni.com

Теория вероятности и математическая статистика 4 (стр. 4 из 18)

3.2.Непрерывные случайны величины.

Случайная величина

называется непрерывной, если существует такая неотрицательная,

интегрируемая по Риману функция

, называемая плотностью распределения вероятностей,

что при всех

Множество значений непрерывной

случайной величины

- некоторый числовой интервал.

Плотностью распределения вероятностей

непрерывной случайной величиныХ

называют предел, если он существует, отношения вероятности попадания случайной величины

Х на отрезок

, примыкающей к точке
, к длине этого отрезка, когда

последний стремится к 0, т.е.

.

Свойства плотности распределения вероятностей:

- непрерывная или кусочно непрерывна функция;

Функция распределения случайной величины

– это функция
действительной

переменной

, определяющая вероятность того, что случайная величина принимает значение

меньше некоторого фиксированного числа

, т.е.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины :

;
;

Модой непрерывной случайной величины

называется действительное число
,

определяемое точка максимума плотности распределения вероятностей

.

Медианой непрерывной случайной величины

называется действительное число
,

Удовлетворяющее условию

, т.е. корень уравнения

Начальный момент

го порядка:

Центральный момент

го порядка:

Коэффициент асимметрии или «скошенности» распределения

Коэффициент эксцесса или островершинности распределения

Случайная величина

называется центрированной, если
Если же для

случайной величины

то она называется центрированной и

нормированной (стандартизованной) случайной величиной.

3.3. Законы распределения непрерывной случайной величины

Равномерное распределение: Пусть плотность вероятности равна нулю всюду, кроме отрезка

, на котором все значения случайной величины Х одинаково возможны. Выражение плотности распределения вероятностей
имеет следующий вид:

Функция равномерного распределения задается формулой:

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение соответственно равны:

Показательное распределение. Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины

, которое описывается функцией плотности вероятности:

где

постоянная и называется параметром экспоненциального распределения.

Функция распределения случайной величины, распределенной по показательному закону, имеет вид:

Математическое ожидание

. Дисперсия
, среднее квадратическое отклонение
.

Лекция №6. Нормальное распределение.

Распределение с непрерывной случайной величины называется нормальным, если плотность распределения ее описывается формулой:

где

- параметры распределения.

Функция распределения случайной величины Х, распределенной по нормальному закону:

Полученный интеграл нельзя выразить через элементарные функции, но его можно вычислить через специальную функцию:

,

называемую нормальной функцией распределения (функцией Лапласа). Эта функция неубывающая, непрерывная слева и

Математическое ожидание и дисперсия соответственно равны

Центральные моменты случайной величины с нормальным законом распределения вычисляются через следующие рекуррентные соотношения:

поскольку

то нечетные центральные моменты равны нулю, а четные центральные моменты равны:

Коэффициенты ассиметрии и эксцесса для нормального закона распределения равны нулю:

так как они характеризуют скошенность и крутизну исследуемового закона распределения по сравнению с нормальным.

Вероятность попадания случайной величины

, подчиненной нормальному закону распределения, на заданный интервал
, определяется следующим образом:

или

функция Лапласа.

Вероятность заданного отклонения вычисляется по формуле:

или

Интервалом практически возможных значений случайной величины

, распределенной по нормальному закону , будет интервал

Лекция 7-8. Предельные теоремы и законы больших чисел

Все законы вероятности получены из практики, то есть из наблюдений за массовыми случайными явлениями. Массовые случайные явления проявляются в статистической совокупности.